2002-大纲理-17 解-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角方程的求解。核心意图在于测试学生利用二倍角公式统一角的关系，以及通过因式分解化简三角恒等式的综合代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 已知 ${\sin }^{2}2\alpha +\sin 2\alpha \cos \alpha -\cos 2\alpha =1$，$\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，求 $\sin \alpha$、$\tan \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（移项化简常数）：将方程中的 $\cos 2\alpha$ 移项至右侧，利用公式 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$ 实现降幂与统一角。
2. 第二步（二倍角展开）：将左侧的 $\sin 2\alpha$ 展开为 $2\sin \alpha \cos \alpha$，使各项显现出共同因式 ${\cos }^2\alpha$。
3. 第三步（因式分解与区间化简）：提取公因式后，结合已知区间 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 说明 $\cos \alpha \ne 0$，约去公因式将其转化为关于 $\alpha$ 的一元三角方程，求出目标值。

✅【答案】

Success

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$，$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

原方程为： ${\sin }^{2}2\alpha +\sin 2\alpha \cos \alpha -\cos 2\alpha =1$

移项变形得： ${\sin }^{2}2\alpha +\sin 2\alpha \cos \alpha =1+\cos 2\alpha$

根据二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 且 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$，代入上式： $(2\sin \alpha \cos \alpha {)}^2+(2\sin \alpha \cos \alpha )\cos \alpha =2{\cos }^2\alpha$ $4{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +2\sin \alpha {\cos }^2\alpha -2{\cos }^2\alpha =0$

提取公因式 $2{\cos }^2\alpha$： $2{\cos }^2\alpha (2{\sin }^2\alpha +\sin \alpha -1)=0$

因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\cos \alpha \ne 0$，两边同时除以 $2{\cos }^2\alpha$ 得： $2{\sin }^2\alpha +\sin \alpha -1=0$

对一元二次方程进行十字相乘因式分解： $(2\sin \alpha -1)(\sin \alpha +1)=0$

解得： $\sin \alpha =\frac{1}{2}\text{或}\sin \alpha =-1$

因为 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，在此区间内 $\sin \alpha \in (0,1)$， 所以 $\sin \alpha =-1$ 舍去，只保留： $\sin \alpha =\frac{1}{2}$

从而可求出 $\alpha =\frac{\pi }{6}$。 进而得到 $\tan \alpha$ 的值： $\tan \alpha =\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

综上所述， $\sin \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的逆向应用；三角函数在第一象限的取值范围约束。
2. 核心方法：公因式法。
3. 避坑指南：

• 直接约项导致漏根或增根：在提公因式 $2{\cos }^2\alpha$ 时，必须先声明或检验其是否为 $0$，只有在明确已知条件 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 满足 $\cos \alpha >0$ 时方可约去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为标准的高考三角大题第一题，考查内容基于教材基本公式的组合，通过常数 $1$ 与余弦二倍角的转化来实现整体方程次幂的齐次化。
2. 结论推广： 对于形如 $f(\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha )=g(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ 类的非同角三角方程，通用化简策略为“统一角”或“统一名”。通常利用 $1\pm \cos 2\alpha$ 的化倍角性质作为切入点，可将复杂的多元混杂方程高效降维。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1955-全国-04 解-解三角方程cos2x
• 1954-全国-04 解-正切分式方程通解
• 1977-北京理-04 解-同角三角函数基本关系