2002-大纲理-15 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用。核心意图在于测试学生利用二项式展开式的通项公式，结合多项式乘法分配律，通过分类讨论将目标幂次 $x^3$ 的系数拆解并精确计算的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） $(x^2+1)(x-2{)}^7$ 展开式中 $x^3$ 的系数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（分析乘法结构）：目标多项式由两部分相乘组成：$(x^2+1)$ 与 $(x-2{)}^7$。要得到展开式中的 $x^3$ 项，可以根据乘法分配律分为两种情况：

• 用前面的 $x^2$ 乘以后面括号展开式中的 $x^1$ 项。
• 用前面的 $1$ 乘以后面括号展开式中的 $x^3$ 项。

2. 第二步（写出二项式通项）：写出 $(x-2{)}^7$ 的二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{7-r}\cdot (-2{)}^r$。
3. 第三步（定项求系数）：分别令自变量的指数等于 $1$ 和 $3$，求出对应的 $r$ 值与对应项系数，最后将两部分系数相加。

✅【答案】

Success

$1008$

✍【详细解析】

Abstract

首先，写出二项式 $(x-2{)}^7$ 展开式的通项公式： $T_{r+1}=C_7^r\cdot x^{7-r}\cdot (-2{)}^r(0\le r\le 7,r\in \mathbf{Z})$

根据多项式乘法分配律， $(x^2+1)(x-2{)}^7$ 展开式中构成 $x^3$ 的项由两部分组合而成：

• 部分 1：由 $x^2$ 与 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^1$ 项相乘所得。 令通项中 $x$ 的指数等于 $1$： $7-r=1⟹r=6$ 将 $r=6$ 代入通项，得到 $x^1$ 项为： $C_7^6\cdot x^1\cdot (-2{)}^6=7\times 64\cdot x=448x$ 与前面的 $x^2$ 相乘： $x^2\cdot (448x)=448x^3$ 此部分的系数为 $448$。

• 部分 2：由 $1$ 与 $(x-2{)}^7$ 展开式中的 $x^3$ 项相乘所得。 令通项中 $x$ 的指数等于 $3$： $7-r=3⟹r=4$ 将 $r=4$ 代入通项，得到 $x^3$ 项为： $C_7^4\cdot x^3\cdot (-2{)}^4=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times 16\cdot x^3=35\times 16\cdot x^3=560x^3$ 与前面的 $1$ 相乘： $1\cdot (560x^3)=560x^3$ 此部分的系数为 $560$。

综合累加： 将两部分贡献的 $x^3$ 项系数相加，得到整个展开式中 $x^3$ 的系数为： $448+560=1008$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式中负号的携带处理；多项式交叉乘积的项次匹配。
2. 核心方法：分配律分类法、通项待定指数法。
3. 避坑指南：

• 负号遗漏陷阱：在书写 $(x-2{)}^7$ 的通项时，常数项必须视为 $(-2)$ 而非 $2$。当 $r=6$ 时， $(-2{)}^6=64$ 为正数；当 $r=4$ 时， $(-2{)}^4=16$ 亦为正数。若遇到奇数次幂项，符号的错漏会导致结果产生巨大偏差，运算时需格外注意。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学二项式定理板块的经典传统填空题。相比于单一二项式展开，引入前方的一阶或二元低次多项式，考查了乘法分配律在组合计数中的复合应用。
2. 结论推广： 对于更为一般的多项式求特定项系数问题 $P(x)\cdot (ax+b{)}^n$（其中 $P(x)=\sum k_m{x}^m$）： 其目标项 $x^t$ 的总系数可以直接表示为各分项系数的加权和： $\text{總係數}={\sum }_m{k}_m\cdot \left[C_n^{n-(t-m)}\cdot a^{t-m}\cdot b^{n-(t-m)}\right]$ 通过建立这一映射机制，可以将任何多项式复合二项式的问题转化为离散的有限点乘运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1993-新高考理-13 单-两个二项式乘积的指定项系数