2002-大纲理-14 填-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程及其基本几何量 $a,b,c$ 之间的代数关系。核心意图在于测试学生根据已知焦点坐标确定椭圆的焦点位置（长轴方向），并能准确运用关系式 $a^2=b^2+c^2$ 求解未知参数的能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 椭圆 $5x^2+k{y}^2=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$，那么 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（化标准方程）：将已知方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 两边同时除以 $5$，化为标准形式 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$。
2. 第二步（判定长轴方向）：由已知焦点坐标为 $(0,2)$ 可知，焦点位于 $y$ 轴上。这意味着椭圆的长轴在 $y$ 轴上，故 $y^2$ 项的分母大于 $x^2$ 项的分母，即 $\frac{5}{k}>1$。
3. 第三步（建立代数方程）：根据 $y$ 轴焦点椭圆的基本量定义，长半轴平方 $a^2=\frac{5}{k}$，短半轴平方 $b^2=1$。由焦点坐标求出半焦距 $c=2⟹c^2=4$。利用几何关系 $a^2-b^2=c^2$ 列出关于 $k$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

将椭圆方程 $5x^2+k{y}^2=5$ 两边同时除以 $5$，化为标准方程： $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{5}{k}}=1$

因为椭圆的一个焦点坐标为 $(0,2)$，该点位于 $y$ 轴上， 所以该椭圆的中心在原点，长轴在 $y$ 轴上。

由标准方程和焦点分布特征，可得各基本量的平方表达式：

• 短半轴平方： $b^2=1$
• 长半轴平方： $a^2=\frac{5}{k}$
• 半焦距： $c=2⟹c^2=4$

根据椭圆中基本量的几何关系 $a^2=b^2+c^2$（即 $a^2-b^2=c^2$），代入上述表达式： $\frac{5}{k}-1=4$

移项化简得： $\frac{5}{k}=5$

解得： $k=1$

经检验，当 $k=1$ 时， $a^2=5>b^2=1$，满足长轴在 $y$ 轴上的几何前提。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程非标准型向标准型的转化；焦点轴向判定；基本量平方关系 $a^2=b^2+c^2$ 的严密应用。
2. 核心方法：系数归一法、基本量方程法。
3. 避坑指南：

• 长短轴分母张冠李戴：部分学生在焦点位于 $y$ 轴时，习惯性地仍令 $a^2$ 为 $x^2$ 的分母，导致列出 $1-\frac{5}{k}=4⟹\frac{5}{k}=-3$，从而算得负值。必须牢记，椭圆中 $a^2$ 恒为较大的分母，其对应的变元轴决定了焦点的所在轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块中最经典的入门级填空题，考查的核心是标准方程的结构特征与几何量的直接映射。
2. 结论推广： 对于含有未知参数的二次曲线方程 $A{x}^2+B{y}^2=1(A>0,B>0,A\ne B)$：

• 若其为椭圆且焦点在 $x$ 轴上，则半焦距平方为 $c^2=\frac{1}{A}-\frac{1}{B}$ 且 $A<B$；
• 若其为椭圆且焦点在 $y$ 轴上，则半焦距平方为 $c^2=\frac{1}{B}-\frac{1}{A}$ 且 $B<A$。 通过这种系数倒数的差值表达，可以绕开繁琐的平移变形，直接求出参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量