2002-大纲理-13 填-指数函数的图象与性质

本题导读

本题考查指数函数在闭区间上的最值性质。核心意图在于测试学生对指数函数单调性的掌握，理解无论底数 $a>1$ 还是 $0<a<1$，指数函数在闭区间上的端点值之和形式均保持高度一致性。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 函数 $y=a^x$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值之和为 3，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底数分类讨论：指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ 的单调性取决于底数 $a$ 的范围。需要分 $a>1$（单调递增）和 $0<a<1$（单调递减）两种情况。
2. 确定区间最值：

• 若 $a>1$，则最小值为 $f(0)$，最大值为 $f(1)$。
• 若 $0<a<1$，则最大值为 $f(0)$，最小值为 $f(1)$。

3. 建立代数方程：无论哪种情况，最大值与最小值之和均等于 $f(0)+f(1)$。由此列出关于 $a$ 的线性方程并求解。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

根据指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ 的性质，分两种情况讨论函数在闭区间 $[0,1]$ 上的最值：

• 情况 1：当 $a>1$ 时，函数 $y=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 在区间 $[0,1]$ 上： $\text{最小值为 }{y}_{\min }=a^0=1$ $\text{最大值为 }{y}_{\max }=a^1=a$ 由题意，最大值与最小值之和为 3： $1+a=3⟹a=2$ 经检验，$a=2>1$，符合题意。

• 情况 2：当 $0<a<1$ 时，函数 $y=a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减。 在区间 $[0,1]$ 上： $\text{最大值为 }{y}_{\max }=a^0=1$ $\text{最小值为 }{y}_{\min }=a^1=a$ 由题意，最大值与最小值之和为 3： $1+a=3⟹a=2$ 经检验，$a=2$ 不满足前提条件 $0<a<1$，故舍去。

综上所述，底数 $a$ 的值为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数的定义域与底数分类约束；闭区间单调函数的端点最值定理。
2. 核心方法：分类讨论法、方程凑整法。
3. 避坑指南：

• 文字识别笔误：题目中“最大值与最小值这和为3”中“这”为印刷或录入错字，理应严格等价于“之和”。
• 分类讨论不闭环：虽然本题无论哪种单调性，端点值最终表达式均呈现为 $a^0+a^1=3$，但不经讨论直接书写容易在主观题中因逻辑不严密而失分，面对更复杂的复合函数最值时易产生漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考数学填空题的第一题或前两题位置，侧重于对单一基本初等函数图象性质的直接考查。
2. 结论推广： 对于所有在区间 $[m,n]$ 上严格单调的连续函数 $f(x)$，其最大值与最小值的代数和恒为两端点函数值的直接加和，即 $f(m)+f(n)$，与函数的具体单调方向（递增或递减）完全无关。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-04 单-指数函数的图象
• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-内蒙古理-05 解-两船距离最值