本题导读
本题考查排列组合在立体几何图形性质中的综合计数。核心意图在于测试学生利用间接法（排除法）或直接分类讨论法，结合正方体的相对面与相邻面这一空间特征，准确计算出满足特定约束条件的选法总数的能力。
📌【题干】
Question
（2002年大纲卷(理)） 从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 ()
A. 8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种
🔍【思路分析】
破题导航
- 基本总量：从正方体 6 个面中任意选取 3 个面，总的选法数为 。
- 理解约束条件：“其中有 2 个面不相邻”意味着这 3 个面中至少存在一对相对的面。在正方体中，面与面之间的位置关系只有两种：要么相邻，要么相对（即不相邻）。
- 方法一（间接法）：满足要求的反面情况是“选出的 3 个面两两均相邻”。在正方体中，两两相邻的 3 个面必然共用同一个顶点（三面共顶点）。通过计算正方体的顶点数即可得到反面情况数，用总数减去反面数即为答案。
- 方法二（直接法）：要使选出的 3 个面中有 2 个面不相邻（即有一对相对面），可以先从正方体的 3 对相对面中任选 1 对（有 种情况），再从剩下的 4 个面中任选 1 个面（有 种情况）。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
方法一：间接法（推荐）
计算无约束条件的任意选法总数： 从正方体的 6 个面中任意选取 3 个面，组合数共有：
计算不满足约束条件的反面情况数： “其中有 2 个面不相邻”的反面是不存在任何两面相对的情况，即选出的 3 个面两两都相邻。 在正方体结构中，当且仅当 3 个面两两相邻时，它们必须共用同一个顶点。 因为正方体一共有 8 个顶点，每一个顶点都唯一对应一组两两相邻的 3 个面（例如：上底面、前面、左侧面共用左前上顶点）。 因此，两两都相邻的 3 个面的选法共有：
求差集： 用总选法数减去不合题意的选法数，得到满足条件的选法共有：
方法二：直接分类讨论法
“其中有 2 个面不相邻”说明选出的 3 个面中，必须包含且仅包含一对相对面（因为正方体一共只有 3 对相对面，选出 3 个面不可能包含两对相对面）。
- 第一步：先从正方体的 3 对相对面中选取 1 对不相邻的面，选法有：
- 第二步：选定 1 对相对面（共 2 个面）后，正方体还剩下 4 个面。从剩下的 4 个面中任选 1 个面，选法有：
根据分步乘法计数原理，满足条件的选法总数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正方体面、顶点的空间几何映射；组合数公式的计算；补集思想（正难则反）。
- 核心方法：间接排除法、分步乘法计数原理。
- 避坑指南：
- 字眼理解偏差陷阱：误将“有 2 个面不相邻”机械地理解为“只能有 2 个面不相邻，第 3 个面要和它们都相邻”。在正方体中，只要有一对相对面，另外一个面必然与这一对相对面都相邻，不存在 3 个面两两都不相邻（即存在两对相对面）的可能。因此，题干中的要求本质上等价于“选出的 3 个面中包含一对相对面”。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题将立体几何模型（正方体）的基本特征与组合数学交汇，是高考选择题中考查空间想象力与离散数学基础的经典小压轴题。
- 结论推广： 若将本题的“面”推广到“棱”或“顶点”：
- 从正方体的 12 条棱中任取 3 条棱，两两异面的取法：利用间接法同样可以通过空间骨架的排除法高效解决。
- 从正方体的 8 个顶点中任取 4 个顶点，使其共面的取法：正方体的六个表面（6种）加六个对角面（6种），共计 12 种。 这类问题核心均在于将抽象的数学组合公式，映射到具象的空间几何元素对称性上。
🔗【关联脉络】
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