2002-大纲理-03 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查含有绝对值号的代数不等式求解。核心意图在于测试学生对绝对值概念的去心化处理（分类讨论法），以及对两因式乘积大于零（同号相乘）这一逻辑关系的严密求解能力。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(理)） 不等式 $(1+x)(1-|x|)>0$ 的解集是 ()

A. $\{x|0\le x<1\}$　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|x<0\text{ 且 }x\ne -1\}$

C. $\{x|-1<x<1\}$　　　　　　　　　　　　D. $\{x|x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（区间讨论法）：根据绝对值内变元 $x$ 的正负性，以 $0$ 为分界点，将数轴划分为 $x\ge 0$ 与 $x<0$ 两个区间分别去掉绝对值号，转化为常规一元二次不等式组求解，最后求并集。
2. 方法二（同号相乘法）：两式乘积大于零，等价于两个因式“同为正数”或“同为负数”。分别列出两个不等式组求解，最后求并集。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方法一：区间讨论法

• 情况 1：当 $x\ge 0$ 时， $|x|=x$。 原不等式转化为： $(1+x)(1-x)>0⟹1-x^2>0⟹x^2<1⟹-1<x<1$ 结合前提条件 $x\ge 0$，可得此区间的解集为： $0\le x<1$

• 情况 2：当 $x<0$ 时， $|x|=-x$。 原不等式转化为： $(1+x)[1-(-x)]>0⟹(1+x)(1+x)>0⟹(1+x{)}^2>0$ 因为完全平方式非负，要使 $(1+x{)}^2>0$ 成立，只需底数不为零即可： $1+x\ne 0⟹x\ne -1$ 结合前提条件 $x<0$，可得此区间的解集为： $x<0\text{ 且 }x\ne -1$

综合两情况求并集： 将情况 1 的解集 $[0,1)$ 与情况 2 的解集 $(-\infty ,-1)\cup (-1,0)$ 取并集，可以连结合并为： $x<1\text{ 且 }x\ne -1$ 用集合形式表示为： $\{x|x<1\text{ 且 }x\ne -1\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的几何与代数定义；一元二次不等式的解法。
2. 核心方法：分类讨论法、数轴交并集结合法。
3. 避坑指南：

• 完全平方零界点遗漏陷阱：在情况 2 中，得出 $(1+x{)}^2>0$ 时，极易想当然认为其对所有负数恒成立，从而忽略了当 $x=-1$ 时该式等于 0 这一不满足“严格大于号”的特例。此疏忽会导致错选成 $x<1$ 而误选 (C) 或其他错误选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的代数不等式基础题，通过引入绝对值符号来增加符号判定的层次性，主要检测学生运算的完备性。
2. 结论推广： 对于形如 $(x-a)(x-|b|)>0$ 类的复合不等式，其零点不仅受到代数根的限制，更受到绝对值天然非负性产生的“二重根（重根切点）”效应影响。在数轴上表现为穿根法中的“奇穿偶回弹”现象，必须在弹回的边界处精准挖去使等式归零的孤立点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形
• 1988-广东理-14 单-不等式的同解变形
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件