2002-北京卷理-15 填-空间图形的正投影性质

本题导读

本题考查立体几何中相交直线在平面内正射影的角度变化规律。核心意图在于测试学生打破平面几何思维定势，对线面相对位置进行分类讨论与极端状态空间想象的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 关于直角 $\angle AOB$ 在平面 $\alpha$ 内的射影有如下判断：① 可能是 $0^{\circ }$ 的角；② 可能是锐角；③ 可能是直角；④ 可能是钝角；⑤ 可能是 $180^{\circ }$ 的角．其中正确判断的序号是 $\underline{}$．（注：把你认为正确判断的序号都填上）

🔍【思路分析】

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1. 定性排除退化情况（①和⑤）：正投影下，相交直线且夹角不为零的射影角何时能退化为 $0^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$？需要考察直线是否会投影重合。
2. 定量判定垂直情况（③）：利用空间直角射影定理，寻找直角射影仍为直角的充要条件。
3. 动态分析畸变情况（②和④）：通过改变直角 $\angle AOB$ 所在平面与投影面 $\alpha$ 的夹角，分析射影角连续变化的取值范围。

✅【答案】

Success

$\text{(2)}\text{(3)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

在空间中，直角 $\angle AOB$ 的两条边满足 $OA\perp OB$，设它们在平面 $\alpha$ 内的正射影分别为 $O{A}^{\prime },O{B}^{\prime }$。

1. 分析①和⑤（排除退化）： 因为 $OA\perp OB$，所以两条直线在空间中相交。 射影角要成为 $0^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$，意味着射影直线 $O{A}^{\prime }$ 与 $O{B}^{\prime }$ 重合或共线。 根据正投影原理，只有当两条直线本身在空间平行或重合时，射影才会共线；或者其中一条或两条直线垂直于投影面（此时投影退化为点，无法构成角）。 由于 $OA\perp OB$ 不可能平行，且两条直线不能同时垂直于同一个平面 $\alpha$，故其射影不能重合或方向相反。 因此，①和⑤错误。

2. 分析③（直角可能）： 根据空间直角射影定理：如果空间中的一个直角有一条边平行于投影面（或在投影面内），而另一条边不垂直于投影面，那么它在投影面上的射影仍然是直角。 当 $OA\parallel \alpha$，且 $OB$ 不垂直于 $\alpha$ 时，必有 $\angle A^{\prime }O{B}^{\prime }=90^{\circ }$。 因此，③正确。

3. 分析②和④（锐角与钝角可能）： 设顶点 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，将直角 $\angle AOB$ 所在的平面绕着不垂直于 $\alpha$ 的轴进行旋转。

• 当两条边 $OA,OB$ 与平面 $\alpha$ 的倾斜程度以及它们在底面的投影朝向发生相对变化时，由射影公式 $\cos \angle A^{\prime }O{B}^{\prime }=\frac{\cos \angle AOB-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2}{\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2}$ （其中 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 分别为两边与平面的线面角）可知：
• 由于 $\angle AOB=90^{\circ }⟹\cos \angle AOB=0$，上式化简为 $\cos \angle A^{\prime }O{B}^{\prime }=-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2$。
• 在动态转动中，可以通过控制 $A,B$ 的空间象限，使 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 符号取向改变（或在向量内积视角下投影夹角的余弦值可正可负），从而使射影角 $\angle A^{\prime }O{B}^{\prime }$ 的余弦值大于 0（对应锐角）或小于 0（对应钝角）。 因此，②和④正确。

综上所述，直角的射影角取值范围为 $(0^{\circ },180^{\circ })$，可能为锐角、直角或钝角。正确判断的序号是 ②③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面正投影中的保角性与畸变规律；空间直角射影定理。
2. 核心方法：公式定量分析法、空间极端状态想象法。
3. 避坑指南：

• 二维定势思维陷阱：平面几何经验极易导致误认为直角射影恒为直角而漏选②④。必须明确，空间图形的正投影不具备保角性，除了满足特定定理的直角仍能保直角外，其余情况角度均会发生非线性伸缩畸变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于考查空间线面、面面关系的抽象性质题，在画法几何中是讨论投影变形规律的奠基型结论。
2. 结论推广（空间直角射影定理）： 空间中互相垂直的两条直线 $l_1\perp l_2$，其在平面 $\alpha$ 上的正射影满足 $l_1^{\prime }\perp l_2^{\prime }$ 的充要条件是：$l_1$ 和 $l_2$ 中至少有一条直线与平面 $\alpha$ 平行（或在平面内），且另一条直线不垂直于平面 $\alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 1955-全国-03 解-直角三角形垂线比例中项
• 1962-全国-09 解-正方体对角线垂足
• 1963-全国-03 解-半圆中求垂线段