2002-北京卷理-10 单-空间面面垂直的判定与性质

本题导读

本题考查立体几何中面面垂直的性质及逻辑命题中充分必要条件的判定。核心意图在于测试学生将面面垂直条件转化为底面的线线垂直条件，并据此严谨判断能否推出几何体为正方体。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 设命题甲：“直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，平面 $AC{B}_1$ 与对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 垂直”；命题乙：“直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是正方体”，那么，甲是乙的 ()

A. 充分必要条件　　　　　　　　　　　B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证必要性（乙 $\Rightarrow$ 甲）：若棱柱为正方体，则底面为正方形，对角线互相垂直。利用线面垂直判定定理可推导甲成立。
2. 验证充分性（甲 $\Rightarrow$ 乙）：由面面垂直及侧棱垂直底面的性质反推，可得出底面对角线互相垂直。但对角线垂直的直四棱柱不一定是正方体，据此可判断充分性不成立。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证命题乙推导命题甲（必要性） 若直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是正方体，则底面 $ABCD$ 为正方形，对角线 $AC\perp BD$。 因直棱柱侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABCD$，故 $AC\perp B{B}_1$。 又 $B{B}_1\cap BD=B$，故 $AC\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$。 因 $AC\subset$ 平面 $AC{B}_1$，故平面 $AC{B}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$。 即乙 $\Rightarrow$ 甲，甲是乙的必要条件。

第二步：验证命题甲推导命题乙（充分性） 已知平面 $AC{B}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$，结合侧棱 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABCD$ 从而有 $B{B}_1\perp AC$。 由空间垂直性质，可推得 $AC\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$，进而得到底面对角线 $AC\perp BD$。 底面对角线互相垂直的直四棱柱不一定是正方体（如底面为菱形、且侧棱长与底面边长不相等的直四棱柱均满足命题甲）。 即甲 $\nRightarrow$ 乙，甲不是乙的充分条件。

综上所述，甲是乙的必要非充分条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中线面垂直与面面垂直的相互转化；充要条件的逻辑推断。
2. 核心方法：正向演绎推理；构造几何反例法。
3. 避坑指南：

• 逆向推理的主观臆断：已知面面垂直推出底面对角线互相垂直（$AC\perp BD$）后，切勿凭借视觉直观直接断定该四边形为正方形。必须穷举所有满足“对角线垂直”的四边形构型（如菱形、筝形），利用反例打破充分性论证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查立体几何与简易逻辑的综合，属于高中数学常考的基础逻辑辨析题。
2. 结论推广：在直棱柱中，若底面内一直线垂直于某一对角面，则该直线必垂直于该对角面与底面的交线。此几何构型常用于将空间的面面垂直关系实施“降维打击”，转化为底面平面几何内的线线垂直关系进行分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1956-全国-04 解-四棱柱中对角面垂直底面
• 1963-全国-04 解-二面角内垂线平面垂直棱
• 1981-全国文-08 解-正四棱柱截面与对角面的垂直