2002-北京卷理-09 单-排列与组合

本题导读

本题考查排列组合中的平均分组与分配问题。核心意图在于测试学生对“平均分组（无序）”与“分配给不同对象（有序）”逻辑的辨析与计算能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 12 名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有 ()

A. $C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4$ 种　　　　　　　　　　　　B. $3C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4$ 种

C. $C_{12}^4{C}_8^4{A}_3^3$ 种　　　　　　　　　　　　D. $\frac{C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4}{A_3^3}$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定性分析：三个路口是不同的，此问题属于将元素分配到指定不同位置的“有序分配问题”。
2. 定量计算：采用分步直接分配法，依次为三个特定的路口挑选对应人数的学生，利用乘法原理将各步组合数相乘即可得出总方案数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为三个路口是不同的，不妨记为路口甲、乙、丙。 第一步：从12名学生中选4人分配到路口甲，有$C_{12}^4$种选法； 第二步：从剩下的8名学生中选4人分配到路口乙，有$C_8^4$种选法； 第三步：剩下的4名学生全部分配到路口丙，有$C_4^4$种选法。

根据分步乘法计数原理，总的分配方案数为： $C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理；不同对象的定向分配规则。
2. 核心方法：分步直接分配法。
3. 避坑指南：

• 平均分组与分配的混淆：若题目仅要求“将12人平均分成3组”（组间无区别），为了消除由于平均分组带来的重复计数，方案数应为$\frac{C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4}{A_3^3}$（即选项D）。但本题明确要求分配到“三个不同的路口”，相当于在平均分组后再进行全排列分配，即$\frac{C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4}{A_3^3}\times A_3^3=C_{12}^4{C}_8^4{C}_4^4$。采用直接定向挑选的分步法可有效避免先除再乘的繁琐与易错风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查组合数学中最经典的多项式系数定理应用及平均分组模型。
2. 结论推广：将$m\times n$个不同元素平均分成$n$组，每组$m$个元素：

• 若仅分组（分成$n$个无区别的组），方案数为$\frac{C_{mn}^m{C}_{m(n-1)}^m\cdots C_m^m}{A_n^n}$。
• 若分组并分配给$n$个不同对象，方案数为$C_{mn}^m{C}_{m(n-1)}^m\cdots C_m^m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2011-大纲卷理-07 单-几何概型
• 1977-江西-17 解-排列计数两问