2002-北京卷理-03 单-三角函数的周期性

本题导读

本题考查三角函数的最小正周期与单调性判别。核心意图在于测试学生利用降幂公式、绝对值性质及复合函数单调性法则对常见三角函数变体进行分析与图象特征把握的能力。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(理)） 下列四个函数中，以 $\pi$ 为最小正周期，且在区间 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上为减函数的是 ()

A. $y={\cos }^{2}x$　　B. $y=2|\sin x|$　　C. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\cos x}$　　D. $y=-\cot x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：分析四个选项中函数的最小正周期，剔除周期不为 $\pi$ 的选项。
2. 第二步：对剩余满足周期条件的选项，结合基本初等函数在区间 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上的单调性进行逐一判定。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 (A)：利用降幂公式化简得 $y=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x$，其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。当 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时，$2x\in (\pi ,2\pi )$，余弦函数在该区间上单调递增，故 $y={\cos }^{2}x$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上为增函数。不合题意。
• 对于 (B)：因为 $|\sin (x+\pi )|=|-\sin x|=|\sin x|$，故 $y=2|\sin x|$ 的最小正周期 $T=\pi$。当 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时，$\sin x>0$，函数化为 $y=2\sin x$。正弦函数在第二象限单调递减，故该函数在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上为减函数。符合题意。
• 对于 (C)：复合函数 $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\cos x}$ 的最小正周期与内层函数 $u=\cos x$ 相同，为 $2\pi$。不合题意。
• 对于 (D)：函数 $y=\cot x$ 的最小正周期为 $\pi$，且在区间 $(0,\pi )$ 上单调递减。故 $y=-\cot x$ 的最小正周期为 $\pi$，但在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上单调递增。不合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数周期公式（$T=\frac{2\pi }{\omega }$ 或 $T=\frac{\pi }{\omega }$）；绝对值变换对三角函数周期的影响；正余弦函数在各象限的单调性。
2. 核心方法：定义法、降幂公式化简法。
3. 避坑指南：

• 平方项未降幂直接判断单调性：对于形如 $y={\sin }^{2}x$ 或 $y={\cos }^{2}x$ 的函数，必须先利用二倍角降幂公式化为一次幂的复合形式，再分析周期与单调性，否则极易判断反向。
• 余切函数单调性混淆：需牢记 $y=\tan x$ 在单调区间递增，而 $y=\cot x$ 在单调区间递减。本题 (D) 选项前有负号，单调性发生反转变为递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为三角函数图象与性质的经典基础考察题。
2. 结论推广：对于函数 $y=|A\sin (\omega x+\varphi )|$ 与 $y=|A\cos (\omega x+\varphi )|$，因整体加绝对值引起图象在 $x$ 轴下方的部分翻折，其最小正周期均严格减半为 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断