2002-北京卷文-19 解-数列递推不等式

本题导读

本题考查递推数列与不等式。核心在于用基本不等式证明下界。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 数列 $\{x_n\}$ 由下列条件确定：$x_1=a>0$，$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$，$n\in \mathbb{N}$.

(1) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge \sqrt{a}$；

(2) 证明：对 $n\ge 2$，总有 $x_n\ge x_{n+1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用基本不等式证 $x_n\ge \sqrt{a}$。
2. 由 $x_n\ge \sqrt{a}$ 证 $x_{n+1}\le x_n$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $x_1=a>0$ 且递推式知 $x_n>0$，对 $n\ge 2$，$x_n=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)\ge \sqrt{x_{n-1}\cdot \frac{a}{x_{n-1}}}=\sqrt{a}$（基本不等式）． (2) 对 $n\ge 2$，$x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)=\frac{1}{2}\left(x_n-\frac{a}{x_n}\right)=\frac{x_n^2-a}{2x_n}\ge 0$（因 $x_n\ge \sqrt{a}$），故 $x_n\ge x_{n+1}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推不等式

核心方法：$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\ge \sqrt{a}$（基本不等式）；$x_{n+1}\le x_n$ 由单调性证

避坑指南：基本不等式与单调性证明递推数列

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材递推数列

结论推广：一般地，$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$ 用基本不等式与单调性

方法推广：基本不等式证下界

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减
• 2004-上海卷文-22 解-曲线等差数列