2002-上海卷理-21 解-指数函数的待定系数法

本题导读

本题考查指数函数、等差数列与不等式的综合应用。核心意图在于测试学生利用待定系数法确定指数函数模型，通过对数换元导出标准等差数列，并结合代数性质求解一元二次不等式的整数解，以及利用不定方程分析整除性的综合逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=a\times b^x$ 的图象过点 $A\left(4,\frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 记 $a_n={\log }_{2}f(n)$， $n$ 是正整数， $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，解关于 $n$ 的不等式 $a_n{S}_n\le 0$；

(3) 对于 (2) 中的 $a_n$ 与 $S_n$，整数 $10^4$ 是否为数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问逻辑：将已知两点坐标直接代入 $f(x)=a\times b^x$ 建立二元方程组，两式相除消去未知数 $a$ 求出底数 $b$，进而还原出系数 $a$，锁定解析式。
2. 第二问逻辑：将 $f(n)$ 代入对数式，利用对数的加乘性质展开，发现通项 $a_n$ 是关于 $n$ 的一次函数，判定该数列为等差数列。写出通项 $a_n$ 与前 $n$ 项和 $S_n$ 的代数式，代入目标乘积不等式 $a_n{S}_n\le 0$，转化为关于正整数 $n$ 的一元二次不等式，结合 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 的离散边界求解。
3. 第三步逻辑：令通项公式 $a_n{S}_n=10^4$，代入展开后得到一个关于项数 $n$ 的三次不定方程。通过提取公因式，将其转化为 $n^2(n-11)=\text{常数}$ 的形式，利用算术基本定理对常数进行质因数分解，并通过奇偶性与大小范围夹逼验证是否存在合法的正整数解 $n$。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=2^{2x-10}$

(2) $n=5,6,7,8,9$

(3) $10^4$ 不是数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）求函数 $f(x)$ 的解析式

将点 $A\left(4,\frac{1}{4}\right)$ 和 $B(5,1)$ 代入解析式 $f(x)=a\times b^x$ 中，得： $\{\begin{array}{ll}a\times b^4=\frac{1}{4}& \text{(1)}\\ a\times b^5=1& \text{(2)}\end{array}$

将方程 ② 除以方程 ①，消去系数 $a$： $\frac{a\times b^5}{a\times b^4}=\frac{1}{\frac{1}{4}}⟹b=4$

将 $b=4$ 代入方程 ② 中： $a\times 4^5=1⟹a=\frac{1}{4^5}=4^{-5}=\frac{1}{1024}$

因此，函数的解析式为： $f(x)=\frac{1}{1024}\times 4^x(\text{或 }f(x)=4^{x-5})$

解：（2）解关于 $n$ 的不等式 $a_n{S}_n\le 0$

根据第一问结果， $f(n)=4^{n-5}=2^{2(n-5)}=2^{2n-10}$。 代入通项定义式 $a_n={\log }_{2}f(n)$： $a_n={\log }_2(2^{2n-10})=2n-10$

由此可知， 数列 $\{a_n\}$ 是一个首项 $a_1=-8$，公差 $d=2$ 的等差数列。 计算其前 $n$ 项和 $S_n$： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(-8+2n-10)}{2}=\frac{n(2n-18)}{2}=n(n-9)$

将 $a_n$ 与 $S_n$ 代入目标不等式 $a_n{S}_n\le 0$ 中： $(2n-10)\cdot n(n-9)\le 0$ 两边同除以 2，得： $n(n-5)(n-9)\le 0$

由于项数 $n$ 必须为正整数（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }⟹n>0$），两边可以同时除以 $n$，不等号方向不变： $(n-5)(n-9)\le 0$

解该一元二次不等式，得： $5\le n\le 9$

因为 $n$ 为正整数，所以满足不等式的 $n$ 的取值集合为： $n\in \{5,6,7,8,9\}$

解：（3）判定整数 $10^4$ 是否为数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项

假设整数 $10^4$ 是该数列中的第 $n$ 项，则有方程： $a_n{S}_n=10^4$

将 $a_n=2(n-5)$ 和 $S_n=n(n-9)$ 代入方程中： $2(n-5)\cdot n(n-9)=10000$ 两边同时除以 2 展开并整理： $n(n-5)(n-9)=5000$ $n(n^2-14n+45)=5000⟹n^3-14n^2+45n-5000=0$

对上述三次方程进行因式结构重组以利于整数根分析： $n(n-5)(n-9)=5000$ 由于右侧 $5000>0$，且 $n>0$，因此必须满足 $n-9>0⟹n>9$。

下面通过对 5000 进行质因数分解或数值逼近来判定是否存在正整数解： 令新数列通项为 $g(n)=n(n-5)(n-9)$。由于当 $n>9$ 时， $g(n)$ 是严格单调递增的。 代入一些特殊的整数进行值域夹逼：

• 当 $n=18$ 时， $g(18)=18\times (18-5)\times (18-9)=18\times 13\times 9=2106<5000$
• 当 $n=20$ 时， $g(20)=20\times (20-5)\times (20-9)=20\times 15\times 11=3300<5000$
• 当 $n=25$ 时， $g(25)=25\times (25-5)\times (25-9)=25\times 20\times 16=8000>5000$

由单调性可知，若方程有正整数解，其范围必被锁定在开区间 $n\in (20,25)$ 内。 逐一检验该区间内的所有整数：

• 当 $n=21$ 时， $g(21)=21\times 16\times 12=4032\ne 5000$
• 当 $n=22$ 时， $g(22)=22\times 17\times 13=4862\ne 5000$
• 当 $n=23$ 时， $g(23)=23\times 18\times 14=5796\ne 5000$
• 当 $n=24$ 时， $g(24)=24\times 19\times 15=6840\ne 5000$

经检验，在所有可能的整数区间内均没有满足方程的 $n$ 值。

因此，整数 $10^4$ 不是数列 $\{a_n{S}_n\}$ 中的项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项与求和公式的综合构造；高次整系数方程的正整数根夹逼判定。
2. 核心方法：区间化归法、数值夹逼检验法。
3. 避坑指南：

• 高次方程盲目用求根公式：在第三问面对一元三次方程时，不要尝试展开后用三次方程求根公式。由于前提条件限制 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，利用函数的单调性划定合理的上下界，再进行有限项排除，是处理离散数学整数解最严密且最高效的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为2002年上海高考数学理科卷的压轴大题。将基本的初等指数函数作为纽带，向内延伸考查了等差数列的代数和，向外扩展考查了高次不定方程的离散整数解，属于经典的综合选拔性试题。
2. 结论推广： 对于形如 $n(n-\alpha )(n-\beta )=M(\alpha ,\beta ,M\in {\mathbf{R}}^{+})$ 的一元三次方程求正整数解问题： 其通用的数论分析策略为主项放缩法。由于当 $n$ 较大时， $\alpha$ 和 $\beta$ 对最高次项的影响减弱，方程可近似近似看作 $n^3\approx M⟹n\approx \sqrt[3]{M}$。 本题中 $M=5000$，利用立方根估算 $\sqrt[3]{5000}\approx 17.1$。由于减去了 $\alpha =5,\beta =9$，实际的 $n$ 应当比 17.1 略大。通过计算 $17.1$ 附近的整数上界，可以省去大量盲目代值的时间，快速完成精确夹逼。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1959-全国-01 解-六小问综合（对数复数不等式两角差圆台四面体）
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标