2002-上海卷理-18 解-双曲线的定义与标准方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程求解以及直线与双曲线相交的弦长问题。核心意图在于测试学生利用双曲线第一定义建立标准轨迹方程，通过联立直线与双曲线方程构建一元二次方程，并熟练运用韦达定理与弦长公式求解线段长度的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 已知点 $A(-\sqrt{3},0)$ 和 $B(\sqrt{3},0)$，动点 $C$ 到 $A$、 $B$ 两点的距离之差的绝对值为 2，点 $C$ 的轨迹与直线 $y=x-2$ 交于 $D$、 $E$ 两点，求线段 $DE$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步（求动点 $C$ 的轨迹方程）：由“动点 $C$ 到两个定点 $A,B$ 的距离之差的绝对值为常数 2”可知，满足双曲线的第一定义。焦点在 $x$ 轴上，其中半焦距 $c=\sqrt{3}$，实半轴 $a=1$，利用关系式 $b^2=c^2-a^2$ 确定虚半轴，进而写出双曲线的标准方程。
2. 第二步（联立方程组并消元）：将直线方程 $y=x-2$ 代入双曲线方程中，消去因变量 $y$，整理得到关于自变量 $x$ 的一元二次方程，并计算判别式 $\Delta$ 确保交点存在。
3. 第三步（结合韦达定理求弦长）：设交点 $D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$，写出根与系数的关系（韦达定理）。直接套用标准弦长公式 $|DE|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 代入计算出线段的长。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求动点 $C$ 的轨迹方程 根据题意，动点 $C$ 到两定点 $A(-\sqrt{3},0)$、 $B(\sqrt{3},0)$ 的距离之差的绝对值为 2。 因为 $2<|AB|=2\sqrt{3}$，由双曲线的几何定义可知，点 $C$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点的双曲线。

• 焦点在 $x$ 轴上，半焦距 $c=\sqrt{3}⟹c^2=3$
• 实轴长 $2a=2⟹a=1⟹a^2=1$
• 虚半轴平方 $b^2=c^2-a^2=3-1=2$

因此，点 $C$ 的轨迹方程（双曲线）为： $x^2-\frac{y^2}{2}=1$

第二步：联立方程并化简 将直线方程 $y=x-2$ 与双曲线方程联立： $\{\begin{array}{l}{x}^2-\frac{y^2}{2}=1\\ y=x-2\end{array}$

将直线方程代入双曲线方程中消去 $y$： $x^2-\frac{(x-2{)}^2}{2}=1$ 两边同时乘以 2 以消除分母： $2x^2-(x^2-4x+4)=2$ $2x^2-x^2+4x-4-2=0$ 整理得一元二次方程： $x^2+4x-6=0$

计算该方程的根的判别式 $\Delta$： $\Delta =4^2-4\times 1\times (-6)=16+24=40>0$ 判别式大于 0，说明直线与双曲线确实有两个不同的交点 $D$ 和 $E$。

第三步：应用韦达定理与弦长公式 设交点坐标分别为 $D(x_1,y_1)$， $E(x_2,y_2)$。 根据韦达定理，一元二次方程的根与系数关系为： $x_1+x_2=-4$ $x_1{x}_2=-6$

计算两根之差的绝对值 $|x_1-x_2|$： $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{(-4{)}^2-4\times (-6)}=\sqrt{16+24}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

已知直线 $y=x-2$ 的斜率 $k=1$。 根据标准弦长公式，线段 $DE$ 的长为： $|DE|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$ $|DE|=\sqrt{1+1^2}\times 2\sqrt{10}=\sqrt{2}\times 2\sqrt{10}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$

综上所述，线段 $DE$ 的长为 $4\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第一定义的标准方程转化；直线与圆锥曲线交点中的韦达定理代数中和。
2. 核心方法：联立消元法、弦长公式法。
3. 避坑指南：

• 双曲线渐近线交点漏判：直线与双曲线相交时，必须警惕直线是否与双曲线的渐近线平行（若平行则只有一个交点，二次项系数为0）。本题中双曲线渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}=\pm \sqrt{2}$，而已知直线斜率 $k=1\ne \pm \sqrt{2}$，且二次项系数化简后为 $1\ne 0$，属于标准的双支两点交切，判别式合法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第十八题，属于解析几何板块的第一道解答大题，考查经典的“联立、消元、韦达定理、弦长公式”四步走标准解析流程。
2. 结论推广： 对于斜率为 $k$ 的直线与标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 相交所截得的弦长 $L$，若联立化简后的二次方程为 $A{x}^2+Bx+C=0$，其几何弦长满足通用解析公式： $L=\frac{\sqrt{1+k^2}\sqrt{\Delta }}{|A|}$ 代入本题参数 $k=1,\Delta =40,A=1$： $L=\frac{\sqrt{1+1^2}\sqrt{40}}{1}=\sqrt{2}\times 2\sqrt{10}=4\sqrt{5}$ 利用此通式可以有效精简考试中求根差的中间步骤，提高运算的准确度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1981-全国文-09 解-抛物线与直线的弦长及面积