2002-上海卷理-15 单-绝对值函数与分段函数

本题导读

本题考查含绝对值复合函数的图象识别。核心意图在于测试学生利用零点分段法去掉绝对值符号、将复杂函数转化为熟悉的分段初等函数，并结合图象的对称性与边界特殊点的值进行快速筛选排除的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 函数 $y=x+\sin |x|$， $x\in [-\pi ,\pi ]$ 的大致图象是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（零点分段化简）：根据绝对值内部的零点 $x=0$，将定义域 $[-\pi ,\pi ]$ 划分为 $[0,\pi ]$ 与 $[-\pi ,0)$ 两个区间，分别去掉绝对值符号，化简为不含绝对值的分段函数表达式。
2. 第二步逻辑（分析单侧图象特征）：在 $x\in [0,\pi ]$ 时， $y=x+\sin x$。由于在此区间内 $x\ge 0$ 且 $\sin x\ge 0$，两个递增或正向函数叠加， $y$ 保持单调递增，且各点数值均大于等于 0。
3. 第三步逻辑（特殊点代入排除）：计算区间端点 $x=\pi$ 和 $x=-\pi$ 处的函数值。根据 $f(\pi )=\pi$ 且 $f(-\pi )=-\pi$，结合各选项图象在端点处的纵坐标进行比对排除。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据绝对值的定义，将函数 $y=x+\sin |x|$ 在定义域 $[-\pi ,\pi ]$ 上化为分段函数：

$y=\{\begin{array}{ll}x+\sin x,& 0\le x\le \pi \\ x+\sin (-x),& -\pi \le x<0\end{array}⟹y=\{\begin{array}{ll}x+\sin x,& 0\le x\le \pi \\ x-\sin x,& -\pi \le x<0\end{array}$

第一步：分析右侧区间 $[0,\pi ]$ 的图象

• 当 $x=0$ 时， $y=0+\sin 0=0$，图象过原点 $(0,0)$。
• 当 $x=\pi$ 时， $y=\pi +\sin \pi =\pi +0=\pi$。 即当右端点 $x=\pi$ 时，纵坐标 $y=\pi >0$。
• 对 $y=x+\sin x$ 求导分析单调性： $y^{\prime }=1+\cos x$。 因为 $x\in [0,\pi ]$，所以 $\cos x\in [-1,1]⟹y^{\prime }=1+\cos x\ge 0$。 这说明该段函数在 $[0,\pi ]$ 上是严格单调递增的，图象没有波动或极值点。 观察选项，A、B、C、D 在第一象限均呈现单调递增至 $\pi$ 的趋势，无法直接排除。

第二步：分析左侧区间 $[-\pi ,0)$ 的图象并代入特殊点

• 当 $x=-\pi$ 时，代入对应的解析式 $y=x-\sin x$： $y=-\pi -\sin (-\pi )=-\pi -0=-\pi$ 即左端点坐标必须为 $(-\pi ,-\pi )$。
• 观察 B 选项：当 $x=-\pi$ 时，图象对应的纵坐标 $y=\pi >0$，与计算结果 $-\pi$ 不符，排除 B。

第三步：精确判定左侧区间的凹凸性与波动性 对左侧解析式 $y=x-\sin x(x\in [-\pi ,0))$ 求导分析： $y^{\prime }=1-\cos x$ 因为 $\cos x\in [-1,1)$（在左侧开区间内 $\cos x$ 不持续为1），所以： $y^{\prime }=1-\cos x>0$ 这说明函数在左侧区间 $[-\pi ,0)$ 上同样是严格单调递增的。

• 观察 D 选项：在 $x<0$ 的区域内，图象出现了明显的波浪状起伏（有极值点，即导数有变号零点），这与 $y^{\prime }>0$ 恒单调递增的代数事实不符，排除 D。
• 比较 A 选项与 C 选项在 $x<0$ 区域的弯曲方向（凹凸性）： 对 $y=x-\sin x$ 求二阶导数： $y^{\prime \prime }=\sin x$ 当 $x\in (-\pi ,0)$ 时，由正弦函数的性质可知 $\sin x<0⟹y^{\prime \prime }<0$，说明曲线在该段是凹向下的（上凸）。 或者通过取特殊中点进行值域夹逼： 取 $x=-\frac{\pi }{2}$ 代入： $y=-\frac{\pi }{2}-\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}-(-1)=1-\frac{\pi }{2}\approx 1-1.57=-0.57$ 而连结 $(-\pi ,-\pi )$ 与 $(0,0)$ 的割线中点纵坐标为 $-\frac{\pi }{2}\approx -1.57$。 由于 $-0.57>-1.57$，说明函数图象在左侧应当位于割线的上方（即曲线向上凸起）。

C 选项的左侧图象完全塌陷在割线下方（下凸， $y^{\prime \prime }>0$），不符合要求。 A 选项的左侧图象关于直线单调上凸，与代数性质完全吻合。

正确答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的分段退化；利用一阶导数与二阶导数确定图象的单调性与凹凸性。
2. 核心方法：特殊点排除法、导数工具判定法。
3. 避坑指南：

• 奇偶性直觉陷阱：部分学生容易由于看到 $\sin |x|$ 含有绝对值而盲目认为整个函数具有某种对称性（如偶函数），从而误选了关于 $y$ 轴对称的 B 选项。需要注意， $y=x$ 是奇函数，而 $y=\sin |x|$ 是偶函数，奇函数与偶函数的代数和属于非奇非偶函数，图象不具备关于坐标轴或原点的对称性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第十五题，属于经典的“根据解析式选图象”的定性与定量双重考查题型。
2. 结论推广： 对于所有形如 $y=x+f(|x|)$ 类型的函数图象： 其在右侧 $x\ge 0$ 区域的解析式表现为直线与原函数的直接叠加 $x+f(x)$；在左侧 $x<0$ 区域的解析式表现为 $x+f(-x)$。 若 $f(x)$ 本身为偶函数（如本题的 $\sin x$ 或者是 $\cos x$ 的变体），则左侧退化为 $x-f(x)$。这类图形的宏观趋势依然受线性项 $x$ 控制整体斜向上升，但局部的凸凹性会因为负号的引入而与右侧产生相反的反转映射。通过“抓两端端点、求一阶导看极值、求二阶导看凹凸”的三步分析法，可快速判断高难度复合函数的选图题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性