2002-上海卷理-10 填-正弦函数的图象与性质

本题导读

本题考查三角函数的图象平移与奇偶性判定。核心意图在于测试学生利用偶函数的代数定义 $g(-x)=g(x)$ 建立三角方程，或通过图象变换规律理解正弦曲线平移后对称轴与 $y$ 轴重合的几何本质，从而确定参数 $t$ 的通用边界及可能特值。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 设函数 $f(x)=\sin 2x$，若 $f(x+t)$ 是偶函数，则 $t$ 的一个可能值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（代数定义法）：记新函数 $g(x)=f(x+t)=\sin 2(x+t)=\sin (2x+2t)$。依据偶函数的定义，对任意实数 $x$ 恒有 $g(-x)=g(x)$。展开对偶式得到三角方程，通过诱导公式推导参数 $t$ 的通项公式并取一个特值。
2. 方法二（几何对称轴法）：一个函数是偶函数，意味着其图象关于 $y$ 轴（直线 $x=0$）对称。原始函数 $f(x)=\sin 2x$ 的对称轴为 $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi ⟹x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$。向左平移 $t$ 个单位后得到 $f(x+t)$，要使其关于 $y$ 轴对称，只需将某条对称轴平移至 $x=0$ 处，由此直接得出 $t$ 的值。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：代数定义法（严密推导）

令新构造的复合函数为 $g(x)=f(x+t)=\sin 2(x+t)=\sin (2x+2t)$。

根据题意， $g(x)$ 是偶函数，则必须满足奇偶性恒等式： $g(-x)=g(x)$

将 $-x$ 代入函数解析式中： $\sin (2(-x)+2t)=\sin (2x+2t)⟹\sin (-2x+2t)=\sin (2x+2t)$

利用正弦函数的两角和与差公式展开两端： $\sin 2t\cos 2x-\cos 2t\sin 2x=\sin 2x\cos 2t+\cos 2t\sin 2x\text{（错，应为标准移项后运用诱导公式结论）：}$

根据 $\sin A=\sin B⟹A=B+2k\pi$ 或 $A+B=\pi +2k\pi$。此处由于对任意 $x$ 恒成立，采用移项化简： $\sin (2x+2t)-\sin (2t-2x)=0$ 利用和差化积公式 $2\cos 2t\sin 2x=0$。 因为该恒等式对任意 $x\in \mathbf{R}$ 均成立，而 $\sin 2x$ 不恒为 0，所以必须满足： $\cos 2t=0$

根据余弦函数零点公式，解得： $2t=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})⟹t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

题目要求写出 $t$ 的一个可能值，只需任取一个整数 $k$ 即可：

• 当 $k=0$ 时， $t=\frac{\pi }{4}$；
• 当 $k=-1$ 时， $t=-\frac{\pi }{4}$；
• 当 $k=1$ 时， $t=\frac{3\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象平移变换对对称中心与对称轴的驱动；三角恒等式在全定义域恒成立的参数退化。
2. 核心方法：图象对称轴平移法、和差化积法。
3. 避坑指南：

• 平移符号代错陷阱：利用几何对称轴法时， $f(x+t)$ 代表图象向左平移 $t$ 个单位。若原对称轴为 $x=\frac{\pi }{4}$，向左平移 $t$ 后新对称轴为 $x=\frac{\pi }{4}-t$。令新轴为 $0⟹\frac{\pi }{4}-t=0⟹t=\frac{\pi }{4}$。注意不要将平移方向与代数符号记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第十题，属于三角函数性质板块的经典传统基础题，考查了对“偶函数图象必关于 $y$ 轴对称”这一核心几何定义的灵活变形。
2. 结论推广： 对于所有形如 $g(x)=A\sin (\omega x+\varphi )$ 或者是通过平移得到的三角函数族：

• 若 $g(x)$ 为偶函数，则其图象关于 $y$ 轴对称， $y$ 轴必为对应波峰或波谷，充要条件为： $\varphi =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$；
• 若 $g(x)$ 为奇函数，则其图象关于原点对称，原点必为对应的波节（零点），充要条件为： $\varphi =k\pi (k\in \mathbf{Z})$。 应用此推广结论，本题中 $f(x+t)=\sin (2x+2t)$ 为偶函数，直接令初相 $2t=\frac{\pi }{2}+k\pi ⟹t=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$，即可实现3秒内直接口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性