2002-上海卷理-09 填-极坐标与直角坐标的互化

本题导读

本题考查极坐标系与直角坐标系的转换以及中点坐标公式的应用。核心意图在于测试学生利用经典互化公式将极坐标下的已知点转化为直角坐标，在直角坐标系中求出中点后，再重新还原为标准极坐标形式的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 若 $A$、 $B$ 两点的极坐标 $A\left(4,\frac{\pi }{3}\right)$、 $B(6,0)$，则 $AB$ 中点的极坐标是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用极坐标与直角坐标的标准互化公式 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$，将点 $A\left(4,\frac{\pi }{3}\right)$ 和点 $B(6,0)$ 的极坐标转化为直角坐标 $(x_A,y_A)$ 与 $(x_B,y_B)$。
2. 第二步逻辑：在直角坐标系下，利用线段中点坐标公式 $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$， $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$ 计算出 $AB$ 中点 $M$ 的直角坐标 $(x_M,y_M)$。
3. 第三步逻辑：利用公式 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\tan \theta =\frac{y}{x}$，将中点 $M$ 的直角坐标逆向还原为标准的极坐标形式 $(\rho ,\theta )$。

✅【答案】

Success

$\left(\sqrt{19},\arctan \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将极坐标化为直角坐标 设极坐标系与直角坐标系原点重合，极轴为 $x$ 轴正方向。 由极坐标向直角坐标的转化公式： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$

• 对于点 $A\left(4,\frac{\pi }{3}\right)$，极径 ${\rho }_A=4$，极角 ${\theta }_A=\frac{\pi }{3}$： $x_A=4\times \cos \frac{\pi }{3}=4\times \frac{1}{2}=2$ $y_A=4\times \sin \frac{\pi }{3}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ 即点 $A$ 的直角坐标为 $(2,2\sqrt{3})$。

• 对于点 $B(6,0)$，极径 ${\rho }_B=6$，极角 ${\theta }_B=0$： $x_B=6\times \cos 0=6\times 1=6$ $y_B=6\times \sin 0=6\times 0=0$ 即点 $B$ 的直角坐标为 $(6,0)$。

第二步：求中点 $M$ 的直角坐标 设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_M,y_M)$，应用中点坐标公式： $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+6}{2}=4$ $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{2\sqrt{3}+0}{2}=\sqrt{3}$ 即中点 $M$ 的直角坐标为 $(4,\sqrt{3})$。

第三步：将中点 $M$ 的直角坐标化回极坐标 设中点 $M$ 的极坐标为 $({\rho }_M,{\theta }_M)$，其中 ${\rho }_M\ge 0,{\theta }_M\in [0,2\pi )$：

1. 计算极径 ${\rho }_M$： ${\rho }_M=\sqrt{x_M^2+y_M^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$
2. 计算极角 ${\theta }_M$： 因为中点 $M(4,\sqrt{3})$ 的横纵坐标皆为正数，说明其位于第一象限。 $\tan {\theta }_M=\frac{y_M}{x_M}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 由此可得极角为： ${\theta }_M=\arctan \frac{\sqrt{3}}{4}$

因此， $AB$ 中点的极坐标是 $\left(\sqrt{19},\arctan \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极直互化公式的代数应用；直角坐标系下平面内两点中点的向量中和。
2. 核心方法：互化转换法。
3. 避坑指南：

• 极坐标直接相加中和陷阱：部分学生在缺乏概念时，容易直接把两个极坐标的对应位置分量进行算术平均，错误地认为中点极坐标为 $\left(\frac{4+6}{2},\frac{\frac{\pi }{3}+0}{2}\right)=\left(5,\frac{\pi }{6}\right)$。必须牢记，极坐标系中的坐标分量不具备线性的向量加减特征，所有的代数和、中点运算必须严格平移到直角坐标系中完成。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第九题，侧重考查在非传统坐标网格系下对平面基础几何位置（中点）的混合代数求解。
2. 结论推广： 对于极坐标系下任意两点 $P_1({\rho }_1,{\theta }_1)$ 和 $P_2({\rho }_2,{\theta }_2)$，其连线段中点 $M$ 的极径 ${\rho }_M$ 可直接通过余弦定理的一元化推导公式表示： ${\rho }_M=\frac{1}{2}\sqrt{{\rho }_1^2+{\rho }_2^2+2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}$ 代入本题参数验证极径： ${\rho }_M=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+6^2+2\times 4\times 6\times \cos \left(\frac{\pi }{3}-0\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{16+36+48\times \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{52+24}=\frac{1}{2}\sqrt{76}=\frac{2\sqrt{19}}{2}=\sqrt{19}$ 利用此余弦中点通式可以作为该类填空题极径分量的快速求解和检验工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-江苏卷-01 解-分数指数幂的运算法则
• 1977-贵州-11 解-方向导数