2002-上海卷理-07 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。核心意图在于测试学生从实际应用文本中提炼关键计数信息，利用组合数公式分别计算样本空间的总基本事件数和目标事件数，并通过精确约分求得最终概率的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增至 14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分，若 14 名裁判中有 2 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 $\underline{}$.（结果用数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：确定样本空间的总基本事件数。从总共 14 名裁判中任取 7 名裁判作为有效评分的组合数，记为 $N=C_{14}^7$。
2. 第二步逻辑：确定目标事件包含的基本事件数。由于 14 名裁判中有 2 人受贿，则未受贿的裁判有 $14-2=12$ 人。要求选出的 7 名有效分裁判中“没有受贿裁判”，意味着这 7 人必须全部从这 12 名未受贿的裁判中选出，组合数记为 $M=C_{12}^7$。
3. 第三步逻辑：利用古典概型概率公式 $P=\frac{M}{N}=\frac{C_{12}^7}{C_{14}^7}$ 进行代数式展开与化简，最终算得最简数值。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

根据古典概型与组合计数原理进行计算：

第一步：计算从 14 名裁判中任取 7 名的总选法数（分母） $N=C_{14}^7$

第二步：计算满足“7名有效分裁判中均没有受贿裁判”的选法数（分子） 14 名裁判中包含 2 名受贿裁判，因此未受贿的裁判人数为： $14-2=12\text{ 名}$ 要使录用的 7 名有效分裁判中完全没有受贿者，这 7 名裁判只能从 12 名未受贿的裁判中进行挑选，对应的组合数为： $M=C_{12}^7$

第三步：求概率并约分化简 该事件发生的概率 $P$ 为： $P=\frac{M}{N}=\frac{C_{12}^7}{C_{14}^7}$

利用组合数的性质 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 对表达式进行降幂简化：

• $C_{12}^7=C_{12}^{12-7}=C_{12}^5$
• $C_{14}^7$ 保持不变

代入排列组合公式展开： $P=\frac{\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\frac{14\times 13\times 12\times 11\times 10\times 9\times 8}{7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}}$

消去分子与分母中相同的阶乘项和公共乘积项（$12\times 11\times 10\times 9\times 8$ 以及 $5\times 4\times 3\times 2\times 1$）： $P=\frac{1}{\frac{14\times 13}{7\times 6}}=\frac{7\times 6}{14\times 13}$

对剩余项进行数乘约分： $P=\frac{7}{14}\times \frac{6}{13}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{13}=\frac{3}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的组合计数应用；超几何分布中零成功事件的概率映射。
2. 核心方法：组合数公式法、对导简化约分法。
3. 避坑指南：

• 冗余信息干扰陷阱：题干开头提到“裁判由原来的 9 名增至 14 名”，其中的数字“9”只是交代事件发生的历史背景背景信息，与后续的概率抽样计算完全无关，部分学生容易将其带入产生列式错误。
• 大数蛮力展开陷阱：在计算 $\frac{C_{12}^7}{C_{14}^7}$ 时，若先把 $C_{12}^7=792$ 和 $C_{14}^7=3432$ 分别硬算出来再进行大数约分，极易在乘法中因粗心导致算错。应优先通过公式结构整体消项，将计算量降到最低。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第七题，属于经典的古典概型抽样应用题。题目叙述紧扣当年的社会热点事件，将现实背景转化为标准的离散数学抽样模型。
2. 结论推广： 本题的数学本质属于超几何分布的特例。在含有 $N$ 个元素的总体中（其中有 $M$ 个次品），任取 $n$ 个元素，包含 $k$ 个次品的概率通式为： $P(X=k)=\frac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$ 代入本题参数（总体 $N=14$，次品 $M=2$，抽取 $n=7$，目标次品数 $k=0$）： $P(X=0)=\frac{C_2^0\cdot C_{12}^7}{C_{14}^7}=\frac{1\times C_{12}^7}{C_{14}^7}=\frac{3}{13}$ 通过建立超几何分布模型，可以将所有此类“不放回抽样”的题型归纳为统一的代数解析式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1998-上海文-07 填-古典概型的概率
• 1998-上海理-07 填-古典概型的概率