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2002-上海卷理-05 填-二项式展开式的系数和

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本题导读

本题考查二项式定理中各项系数之和的求解方法以及代数分式在无穷大处的极限计算。核心意图在于测试学生利用“赋值法”（令 ）快速求出多项式展开式的各项系数之和，并运用构造法处理指数型分式极限的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 在二项式 和 的展开式中，各项系数之和分别记为 、 ， 是正整数，则 .

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 第一步逻辑：利用“赋值法”原理，多项式 展开式的各项系数之和等于 的值。通过令 ，直接求出 ，同理求出 。
  2. 第二步逻辑：将 和 代入待求的极限表达式中。由于底数 ，当 时， 为高阶无穷大。通过将分式的分子与分母同时除以最大底数幂 ，将式子转化为含有 的形式，利用 求解极限。

✅【答案】

Success

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求各项系数之和 与 对于任意二项式展开式，令自变量 即可得到所有项的系数之和。

  • 对于二项式 ，令 ：
  • 对于二项式 ，令 ：

第二步：计算分式极限 将 和 代入目标极限式：

由于当 时，分式上下均为无穷大型，且底数 ， 为了化简，将分子和分母同时除以 ：

根据无穷递减等比数列极限性质，因为 ，所以有：

将极限值代入分式中：

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：多项式系数和的赋值代数映射；指数爆炸式无穷大分式的抓大头放缩。
  2. 核心方法：赋值法、同除高阶基数幂法。
  3. 避坑指南：
  • 展开法耗时陷阱：部分学生容易尝试用二项式通项公式将 展开后再对组合数乘以系数进行繁琐的求和证明。必须牢记**“求系数和令 ，求常数项令 ”**的经典赋值口诀。
  • 底数错配陷阱：在计算极限同除时，若错误除以 ，则会得到含 的发散分式，不易直接观察出结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第五题，将代数板块的二项式定理与数学分析板块的数列极限进行跨章节有机结合，属于典型的复合基础题。
  2. 结论推广： 对于所有指数型分式极限 ：
  • 若 ，则极限值由底数较大的项的系数决定，即结果为 ；
  • 若 ，则极限值由底数较大的项的系数决定，即结果为 。 本题中 ，由于 ，直接提取 前方的系数即可得： 。

🔗【关联脉络】

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