2002-上海卷理-03 填-对数的定义与运算性质

本题导读

本题考查对数方程与指数方程的综合求解。核心意图在于测试学生利用对数的定义将对数式转化为指数齐次式，并通过换元法将超越方程降维为一元二次方程，最后进行严密根系检验的能力。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(理)） 方程 ${\log }_3(1-2\times 3^x)=2x+1$ 的解 $x=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据对数的定义 ${\log }_{a}N=b⟺a^b=N$，将对数方程转化为指数形式 $1-2\times 3^x=3^{2x+1}$。
2. 第二步逻辑：利用指数运算幂的性质，将 $3^{2x+1}$ 拆解为 $3\times (3^x{)}^2$。引入辅助变元 $t=3^x(t>0)$ 构造关于 $t$ 的一元二次方程，求解并结合对数真数的大于零约束进行验根。

✅【答案】

Success

$-1$

✍【详细解析】

Abstract

根据对数的定义，将方程 ${\log }_3(1-2\times 3^x)=2x+1$ 转化为指数方程： $1-2\times 3^x=3^{2x+1}$

利用指数幂的运算法则，右侧项可变形为： $3^{2x+1}=3^{2x}\times 3^1=3\times (3^x{)}^2$

代入原方程整理，使其右侧项清零，化为标准一元二次方程形式： $3\times (3^x{)}^2+2\times 3^x-1=0$

引入辅助变元，令 $t=3^x$（由于指数函数的值域特性，需满足约束条件 $t>0$），方程重构为： $3t^2+2t-1=0$

运用十字相乘法对该二次方程进行因式分解： $(3t-1)(t+1)=0$

解得： $t=\frac{1}{1}\text{或}t=-1$ 由于前提条件 $t>0$，故舍去负根 $t=-1$，仅保留有效根： $t=\frac{1}{3}$

将 $t=3^x$ 代回换元式： $3^x=\frac{1}{3}⟹3^x=3^{-1}$

解得： $x=-1$

真数条件检验： 将 $x=-1$ 代入原方程对数的真数部分进行复核： $1-2\times 3^{-1}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}>0$ 满足真数大于零的几何约束条件，方程解有效。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数式向指数式的等价转化；换元法中二次方程新变元的值域控制。
2. 核心方法：指对互化法、换元代换法。
3. 避坑指南：

• 换元边界漏判增根：部分学生在求出 $t=-1$ 时，容易忽略 $3^x>0$ 的固有几何限制，强行书写 $3^x=-1⟹x={\log }_3(-1)$ 导致无解或混入虚数根。必须牢记指数换元 $t=a^x$ 必伴随 $t>0$ 这一隐性边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考理科数学的第三题，侧重考查基础初等超越方程的常规代数降维消元策略。
2. 结论推广： 对于所有形如 ${\log }_a(m-n\cdot a^x)=2x+k(a>0,a\ne 1)$ 的通用指对混合方程： 均可通过标准定义式化归为齐次一元二次方程： $a^k\cdot (a^x{)}^2+n\cdot a^x-m=0$ 进而通过待定系数直接导出关于 $a^x$ 的通解公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1958-四川-06 解-换元解指数方程
• 1958-沪闽-02 解-对数指数混合方程组
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角