2002-上海卷文-05 填-二项式系数和与极限

本题导读

本题考查二项式展开式的系数和，以及数列的极限。

📌【题干】

Question

（2002年上海卷(文)） 在二项式 $(1+3x{)}^n$ 和 $(2x+5{)}^n$ 的展开式中，各项系数之和分别记为 $a_n$、$b_n$，$n$ 是正整数，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n-2b_n}{3a_n-4b_n}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_n=(1+3{)}^n=4^n$，$b_n=(2+5{)}^n=7^n$。
2. 分子分母同除以 $7^n$ 取极限。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$ 得各项系数和 $a_n=4^n$，$b_n=7^n$．故 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n-2b_n}{3a_n-4b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4^n-2\cdot 7^n}{3\cdot 4^n-4\cdot 7^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{4}{7}\right)}^n-2}{3{\left(\frac{4}{7}\right)}^n-4}=\frac{0-2}{0-4}=\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数和与极限

核心方法：$a_n=4^n$，$b_n=7^n$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{4^n-2\cdot 7^n}{3\cdot 4^n-4\cdot 7^n}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$

避坑指南：各项系数和令 $x=1$ 代入；极限分子分母同除以 $7^n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式系数和与极限

结论推广：一般地，各项系数和令 $x=1$，极限同除增长最快项

方法推广：求 $a_n,b_n$ 后同除以 $7^n$ 取极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2006-辽宁文-04 单-二项式系数和
• 2007-江西文-05 单-二项式系数和的赋值法
• 2009-陕西卷文-06 单-赋值法求系数和