2001-豫粤卷-16 填-圆周角定理

本题导读

本题考查圆周角定理，以及排列组合与计数原理。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 圆周上有 $2n$ 个等分点 $(n>1)$，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 借助几何定理转化特征：根据平面几何中的圆周角定理，一个圆周上的内接三角形如果是直角三角形，其斜边必须且只能是该圆的一条直径。
2. 计算圆的直径总条数：圆周上有 $2n$ 个等分点，由于等分点个数为偶数，每两个相对的等分点连接起来就能构成一条通过圆心的直径。因此共有 $n$ 条不同的直径。
3. 分步确定第三个顶点的方法数：

• 第一步：先从 $n$ 条直径中任意选定 1 条作为直角三角形的斜边，方法数为 ${\text{C}}_n^1=n$；
• 第二步：选定斜边的 2 个端点后，从圆周上剩下的所有等分点中任意选择 1 个点作为直角三角形的直角顶点。

4. 利用乘法原理级联输出：将两步的方法数相乘，即可得到最终满足条件的直角三角形总个数。

✅【答案】

Success

$2n(n-1)$

✍【详细解析】

Abstract

确定圆中直径的总条数 因为圆周上一共有 $2n$ 个等分点（ $n>1$ 且 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），总点数为偶数。 圆的直径由位于圆心两侧相对的两个点连线构成。由于每个点都有唯一一个与其关于圆心中心对称的对应点，因此这 $2n$ 个点可以两两配对，连接成： $\frac{2n}{2}=n\text{ 条不同的直径}$

利用分步计数原理建立数学模型 要构成一个圆内接直角三角形，根据“直径所对的圆周角是直角”这一充要条件，必须且只需选定一条直径作为斜边，再选定一个不在这条直径上的点作为直角顶点。 采用分步乘法计数原理进行计数：

• 第一步：确定斜边 从圆内的 $n$ 条直径中任意抽取 1 条，共有 ${\text{C}}_n^1=n$ 种选法；

• 第二步：确定直角顶点 当某一条直径被选定作为斜边后，这辆个端点就被固定。此时，圆周上还剩下 $2n-2$ 个等分点。 根据几何性质，这剩余的任意一个点与该直径的两个端点连接，所构成的圆周角全部是 $90^{\circ }$（即直角）。 因此，第三个顶点的可选方法数为： ${\text{C}}_{2n-2}^1=2n-2\text{ 种选法}$

组合级联计算总数 根据分步乘法计数原理，以这 $2n$ 个等分点为顶点的直角三角形总个数 $N$ 为两步方法数的乘积： $N=n\times (2n-2)=2n(n-1)$

$2n(n-1)$ （或 $2n^2-2n$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆周角几何特征向直径不变量的代数转化；独立分步空间组合模型。
2. 核心方法：几何特征映射计数法。
3. 避坑指南：

• 重复计数陷阱（直接组合法漏洞）：若盲目使用总组合数 ${\text{C}}_{2n}^3$ 去排除非直角，由于难以处理锐角和钝角的边界，极易漏算。必须通过“以直径为核心线索”的经典解法，确保每条直径对应的三角形彼此互斥，从而实现无重复、无遗漏的高效计数。
• 自留点未剔除陷阱：在第二步选第三个顶点时，极易粗心从总数 $2n$ 中去选，导致选到了直径端点本身而无法构成三角形。必须严格扣除已经作为斜边的 2 个端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于排列组合与平面几何交汇的经典高分填空题（选择压轴级别），取材于高中数学教材“排列组合应用题”章节关于多边形与圆内接多边形计数性质的标准拓展思维训练题。
2. 结论推广： 本题所求得的 $2n(n-1)$ 是几何组合学中关于**“正多边形内接三角形分类模型”**的经典结论。 在一个拥有 $2n$ 个顶点的正多边形中，任意取 3 个顶点构成的所有三角形总数为 ${\text{C}}_{2n}^3$。这些三角形按照内角类型可唯一划分为三类，且数量恒满足以下不变量系统：

• 直角三角形个数： $N_{\text{直}}=2n(n-1)$
• 锐角三角形个数： $N_{\text{锐}}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$
• 钝角三角形个数： $N_{\text{钝}}=n(n-1{)}^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1986-上海文-28 填-排列计数奇数