2001-豫粤卷-14 填-双曲线的定义与第一定义公式

本题导读

本题考查双曲线的定义与第一定义公式，以及焦点三角形。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的两个焦点为 $F_1,F_2$，点 $P$ 在双曲线上，若 $P{F}_1\perp P{F}_2$，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取双曲线基本参数：由标准方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 直接读出 $a^2=9,b^2=16$，并利用基本关系式 $c^2=a^2+b^2$ 算出半焦距 $c$。
2. 应用第一定义与垂直条件建模：

• 设两焦点半径长分别为 $m=|P{F}_1|,n=|P{F}_2|$。由双曲线第一定义可得： $|m-n|=2a$。
• 因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$，在直角 $△F_{1}P{F}_2$ 中，由勾股定理可得： $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2$。

3. 整体配凑求焦半径乘积：将定义方程平方式展开，与勾股定理方程作差，整体解出乘积项 $mn$ 的数值。
4. 利用面积不变量反解距离：点 $P$ 到 $x$ 轴的距离即为直角 $△F_{1}P{F}_2$ 在底边 $F_1{F}_2$ 上的高 $h$。通过令直角三角形的两种面积计算公式（ $\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot h$）严格相等，反解出高度 $h$。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

求解双曲线的基础几何参数 由已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 可得： $a^2=9⟹a=3$ $b^2=16$ 根据双曲线中参数平方和不变量关系 $c^2=a^2+b^2$，求得： $c^2=9+16=25⟹c=5$ 故焦距长为： $|F_1{F}_2|=2c=10$

利用双曲线定义与勾股定理建立方程组 设焦点半径长度分别为： $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n(m>0,n>0)$ 根据双曲线的第一定义，动点到两定焦点的距离之差的绝对值等于实轴长 $2a$： $|m-n|=2a=2\times 3=6\text{(1)}$

因为 $P{F}_1\perp P{F}_2$，所以 $△F_{1}P{F}_2$ 是以点 $P$ 为直角顶点的直角三角形。 根据直角三角形的勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方： $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=10^2=100\text{(2)}$

通过整体代数变形求解乘积项 $mn$ 将定义方程 ① 式的两边同时进行平方运算： $(m-n{)}^2=6^2⟹m^2-2mn+n^2=36\text{(3)}$ 将 ② 式（ $m^2+n^2=100$）代入 ③ 式中以替换平方和项： $100-2mn=36$ 移项合并同类项，直接解出两焦半径的乘积： $2mn=100-36=64⟹mn=32$

利用面积守恒定律反解点 $P$ 到 $x$ 轴的距离 设点 $P$ 到 $x$ 轴的垂直距离为 $h$。在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，由于焦点 $F_1,F_2$ 均位于 $x$ 轴上，该垂直距离 $h$ 恰好对应斜边 $F_1{F}_2$ 上的高。 利用同一个三角形面积恒等不变量原理，采用两种不同的底高公式表达其面积： $S_{△F_{1}P{F}_2}=\frac{1}{2}\times |P{F}_1|\times |P{F}_2|=\frac{1}{2}\times |F_1{F}_2|\times h$ 两边同时消去 $\frac{1}{2}$，得： $mn=|F_1{F}_2|\cdot h$ 将已知数据 $mn=32$ 以及斜边长 $|F_1{F}_2|=10$ 代入上式中： $32=10\cdot h⟹h=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}$

点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{16}{5}$（或写成小数 3.2）。

$\frac{16}{5}$ （或 3.2）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点三角形中第一定义的模长方程变换；直角三角形面积的双向闭式恒等代换。
2. 核心方法：整体代数配凑法（非对称多项式化简法）。
3. 避坑指南：

• 分步联立求解死循环陷阱：部分学生习惯性地尝试将 ① 式与 ② 式联立成方程组，试图强行解出具体的 $m$ 和 $n$ 的根式值，再代入算高。这种纯代数强推方法计算极为冗长且开方繁琐。必须牢记：焦点三角形中，永远通过 $(m-n{)}^2=m^2+n^2-2mn$ 的整体结构直接获取乘积项 $mn$，无需单独分离具体项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于圆锥曲线板块最经典、最高频的“焦点三角形不变量”填空题，取材于高中解析几何教材“双曲线的几何性质”章节关于焦点三角形面积与特殊夹角综合推导的课后标配提高大题。
2. 结论推广： 本题所求得的面积与高度关系，可直接推广为通用的**“双曲线直角焦点三角形全面积与高度不变量定理”**： 对于任意标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若其曲线上动点 $P$ 与两焦点构成的夹角满足直角垂直约束（ $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$），则：

• 该焦点三角形的面积恒满足不变量： $S_{△}=b^2$
• 动点 $P$ 到实轴（ $x$ 轴）的垂直距离恒满足解析闭式解： $h=\frac{b^2}{c}$ 利用该推广不变量模型直接验证本题参数：已知 $b^2=16,c=5$，直接带入不变量高度通式： $h=\frac{16}{5}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1956-全国-01 解-五小问综合（对数判别式中线余弦韦达）
• 1959-全国-03 解-已知角与面积求两边
• 1977-湖南-07 解-圆内接四边形求边