2001-豫粤卷-09 单-函数的单调性

本题导读

本题考查函数的单调性，以及复合函数的单调性运算法则。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 设 $f(x)$， $g(x)$ 都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是() ① 若 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ② 若 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ③ 若 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减； ④ 若 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减.

A. ①③　　　　　　　B. ①④　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用单调性基本运算法则：设新复合函数为 $F(x)=f(x)-g(x)$。

• 若 $g(x)$ 单调递增，则 $-g(x)$ 单调递减；
• 若 $g(x)$ 单调递减，则 $-g(x)$ 单调递增。

2. 利用“同增同减”原则判定：

• “增函数 + 增函数 = 增函数”
• “减函数 + 减函数 = 减函数”
• “增函数 + 减函数” 或 “减函数 + 增函数” 无法直接确定单调性，需通过具体函数系数而定。

3. 逐项推导锁定正确命题：将各命题中的条件化为加法复合形式，直接比对结论。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设复合函数 $F(x)=f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$。 依据单调性的基本运算性质：当函数 $g(x)$ 乘以负常数 $-1$ 时，其单调性发生反转。

对命题 ① 进行判定（错误）： 已知 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递增。 则 $-g(x)$ 单调递减。 此时 $F(x)=f(x)+[-g(x)]$ 为“增函数 + 减函数”，其合函数的单调性无法确定（取决于两个函数的变化速率）。 反例：令 $f(x)=x$， $g(x)=2x$，均在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，但 $f(x)-g(x)=-x$ 单调递减。

对命题 ② 进行判定（正确）： 已知 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递减。 则 $-g(x)$ 单调递增。 此时 $F(x)=f(x)+[-g(x)]$ 为“增函数 + 增函数”。 根据增函数的数学定义，对任意 $x_1<x_2$，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$ 且 $-g(x_1)<-g(x_2)$。 两式相加得 $f(x_1)-g(x_1)<f(x_2)-g(x_2)$，即 $F(x_1)<F(x_2)$。 因此 $f(x)-g(x)$ 严格单调递增。

对命题 ③ 进行判定（正确）： 已知 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递增。 则 $-g(x)$ 单调递减。 此时 $F(x)=f(x)+[-g(x)]$ 为“减函数 + 减函数”。 根据减函数的数学定义，对任意 $x_1<x_2$，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$ 且 $-g(x_1)>-g(x_2)$。 两式相加得 $f(x_1)-g(x_1)>f(x_2)-g(x_2)$，即 $F(x_1)>F(x_2)$。 因此 $f(x)-g(x)$ 严格单调递减。

对命题 ④ 进行判定（错误）： 已知 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递减。 则 $-g(x)$ 单调递增。 此时 $F(x)=f(x)+[-g(x)]$ 为“减函数 + 增函数”，其合函数的单调性无法确定。 反例：令 $f(x)=-2x$， $g(x)=-x$，均在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，但 $f(x)-g(x)=-x$ 单调递减；若令 $f(x)=-x,g(x)=-2x$，则 $f(x)-g(x)=x$ 单调递增。

综上所述，正确的命题序号为 ② 和 ③。

正确选项： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相反数操作对单调轴向的逆转效应；同向单调函数线性叠加的保真定理。
2. 核心方法：代数符号化简法。
3. 避坑指南：

• 符号含糊直觉陷阱：部分学生容易在口诀上产生模糊记忆，误认为“增减得增，减增得减”，从而在没有写出 $-g(x)$ 的前提下，盲目认为 ① 和 ④ 是正确的。处理单调性组合，务必将“减法”化为“加负法”，严格套用“增+增=增，减+减=减”的确定性判据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数基本性质板块的基础概念辨析选择题，取材于高中数学教材“函数的单调性”章节关于多函数代数复合后性质变化的课后标准拓展题。
2. 结论推广： 本题所涉及的单调性组合规律可推广为通用的**“一阶导数符号不变量代数系统”**。 若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均可导，则命题的本质对应导数算子的线性叠加： $\frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)-g(x)]=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$ 以命题 ② 为例： $f(x)$ 单调递增 $⟹f^{\prime }(x)>0$， $g(x)$ 单调递减 $⟹g^{\prime }(x)<0$。 则导数差值恒满足： $f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=(+)-(-)=(+)+(+)>0$ 导数恒大于 0 表明差函数必然单调递增。这一基于全微分算子的正负号守恒律，在经济学中用于分析多周期边际成本与边际收益的对抗平衡、以及在控制工程中用于判定闭环系统负反馈放大器暂态响应的单调收敛性时，提供了最核心的解析判据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断