2001-豫粤卷-07 单-三角函数辅助角公式

本题导读

本题考查三角函数辅助角公式，以及正弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 若 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$， $\sin \alpha +\cos \alpha =a$， $\sin \beta +\cos \beta =b$，则()

A. $a>b$　　　　B. $a<b$　　　　C. $ab<1$　　　　D. $ab>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入辅助角公式化简：对于已知代数式 $a$ 和 $b$，其结构属于典型的 $\sin x+\cos x$ 线性组合形式。通过提取系数模长 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，利用辅助角公式化简为 $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. 映射自变量的新取值区间：根据已知范围 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，将自变量统一加上平移项 $\frac{\pi }{4}$，确定新自变量 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 与 $\beta +\frac{\pi }{4}$ 的具体几何分布边界。
3. 利用单调性进行大小比对：审视正弦函数 $y=\sin t$ 在该变形后区间内的单调性。若在该区间内单调递增，则自变量大者对应的函数值也大，从而直接锁定 $a$ 与 $b$ 的大小序关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式统一函数形式 根据三角函数的辅助角公式（或两角和的正弦公式），对任意实数 $x$ 恒有： $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 将已知等式代入此统一模型中，得： $a=\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ $b=\sqrt{2}\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)$

求出复合自变量的区间分布 已知基本不等式关系为： $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$ 在不等式各项同时加上平移相位 $\frac{\pi }{4}$，不等号方向保持不变： $0+\frac{\pi }{4}<\alpha +\frac{\pi }{4}<\beta +\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}$ 化简各常数边界得： $\frac{\pi }{4}<\alpha +\frac{\pi }{4}<\beta +\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$

利用单调性锁定大小关系 设新自变量 $t=x+\frac{\pi }{4}$。在区间 $t\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 内，分析基本正弦函数 $y=\sin t$ 的图象特征： 因为正弦函数 $y=\sin t$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上严格单调递增，而区间 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 属于该递增区间的子集。 由于 $\alpha +\frac{\pi }{4}<\beta +\frac{\pi }{4}$，根据单调递增函数的定义，自变量越大，对应的正弦函数值越大： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)<\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)$ 等式两边同时乘以正数 $\sqrt{2}$，不等号方向保持不变： $\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)<\sqrt{2}\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)$ 将第一步中的 $a$ 和 $b$ 显式代回，最终确立： $a<b$

正确选项： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的恒等运用；正弦型函数在第一象限前段的单调递增性质。
2. 核心方法：整体换元单调性分析法。
3. 避坑指南：

• 直觉经验误判陷阱：部分学生不习惯使用辅助角公式化简，仅凭“当角度在 $0$ 到 $\frac{\pi }{4}$ 之间时，余弦函数单调递减导致 $\cos \alpha >\cos \beta$，正弦函数单调递增导致 $\sin \alpha <\sin \beta$”进行局部拆分。由于一增一减导致无法直接判断它们相加后的合力方向，从而凭直觉瞎猜 A 或 C。处理不同名三角函数的加减组合，必须通过辅助角公式化为同名单一函数再行判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数与不等式交汇的典型中档性质选择题，取材于高中数学教材“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”章节关于辅助角变换应用的课后经典思考提高题。
2. 结论推广： 本题所涉及的函数 $\Omega (x)=\sin x+\cos x$ 是平面解析几何中关于一阶简谐振动的标准叠加态。 更一般地，对于广义线性叠加多项式 $\Phi (x)=M\sin x+N\cos x(M>0,N>0)$，其导函数为 ${\Phi }^{\prime }(x)=M\cos x-N\sin x$。在第一象限内，当且仅当 $x<\arctan \frac{M}{N}$ 时， ${\Phi }^{\prime }(x)>0$ 恒成立，即函数严格单调递增。 代入本题参数 $M=1,N=1$，对应的临界截断点为 $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。这表明函数 $\sin x+\cos x$ 在区间 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 上必然严格单调递增。由于已知 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，由单调递增性质直接输出 $\Phi (\alpha )<\Phi (\beta )⟹a<b$。 这一振幅叠加不变量在波动光学中用以计算两路同频相干光波的干涉条纹对比度分布、以及在电力电子学中用以通过相移控制（Phase-Shift Control）消除互补对称正弦逆变器输出的高次谐波干扰，构成了最基础的频域复数相量（Phasor）变换数理基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断