2001-豫粤卷-03 单-极坐标方程与直角坐标方程的互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及三角函数二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 极坐标方程 ${\rho }^2\cos 2\theta =1$ 所表示的曲线是()

A. 两条相交直线　　　　B. 圆　　　　C. 椭圆　　　　D. 双曲线

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开二倍角项：利用余弦二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 将方程左端进行多项式展开。
2. 引入极坐标转换公式：利用极坐标与直角坐标的经典映射关系：

• $x=\rho \cos \theta$
• $y=\rho \sin \theta$

3. 识别二次曲线类型：将方程完全化为直角坐标系下的普通方程，根据各项系数的代数特征锁定其几何曲线类型。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

利用二倍角公式展开方程 已知极坐标方程为： ${\rho }^2\cos 2\theta =1$ 应用三角函数中的余弦二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$，将其代入原方程中： ${\rho }^2\left({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \right)=1$ 将乘积项 ${\rho }^2$ 分配展开： ${\rho }^2{\cos }^2\theta -{\rho }^2{\sin }^2\theta =1$ 将其写为整体平方的形式： $(\rho \cos \theta {)}^2-(\rho \sin \theta {)}^2=1$

代入公式化为直角坐标方程 根据极坐标与直角坐标的互化公式： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 将 $x$ 和 $y$ 直接代入展开后的平方项中，得： $x^2-y^2=1$

判定曲线几何类型 方程 $x^2-y^2=1$ 是平面解析几何中标准的等轴双曲线方程（焦点在 $x$ 轴上，实半轴长 $a=1$，虚半轴长 $b=1$）。 因此，该极坐标方程表示的曲线是双曲线。

正确选项： D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标基本转换模型（ $\rho \cos \theta \to x,\rho \sin \theta \to y$）；圆锥曲线标准方程的结构特征。
2. 核心方法：坐标代换化简法。
3. 避坑指南：

• 二倍角公式记错陷阱：极易将 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 记错为 ${\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta$ 或与正弦二倍角混淆，导致解出 $-x^2+y^2=1$（虽然仍是双曲线，但在大题中会导致细节失分）或其它错误曲线。
• 因式分解误判陷阱：部分学生盲目对开方化简为 $\rho \sqrt{\cos 2\theta }=\pm 1$，增加了不必要的代数复杂度。处理极坐标化直角坐标，优先凑出 $\rho \cos \theta$ 和 $\rho \sin \theta$ 的整体幂次，避免开方引入绝对值边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于坐标系与参数方程板块的最经典基础选择题，取材于高中数学选修教材“极坐标与参数方程”章节关于特殊曲线极坐标表达形式的课后标准演练题。
2. 结论推广： 本题可直接推广为通用的**“等轴双曲线极坐标不变量模型”**： 对于任意实半轴为 $a$ 的标准等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$，其对应的极坐标方程恒满足闭式解： ${\rho }^2\cos 2\theta =a^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 1980-全国文-08 解-参数方程化为直角坐标方程
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程