2001-豫粤卷-01 单-分式不等式的解法

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2001年豫粤卷） 不等式 $\frac{x-1}{x-3}>0$ 的解集为()

A. $\{x\mid x<1\}$　B. $\{x\mid x>3\}$　C. $\{x\mid x<1\text{ 或 }x>3\}$　D. $\{x\mid 1<x<3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价转化：分式 $\frac{A}{B}>0$ 意味着分子与分母同号。在实数域内，这与整式乘积 $A\cdot B>0$ 的符号判定严格等价，且自动包含分母不为零的条件。
2. 求解一元二次不等式：将不等式化为 $(x-1)(x-3)>0$，利用“大于取两边，小于取中间”的口诀直接得出解集区间。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

分式不等式的整式等价转化 已知分式不等式为： $\frac{x-1}{x-3}>0$ 根据实数除法与乘法的符号法则，两数相除大于 0 与两数相乘大于 0 的符号完全相同。 因此，原不等式等价于： $(x-1)(x-3)>0\text{且}x-3\ne 0$

求解并写出解集 一元二次方程 $(x-1)(x-3)=0$ 的两个根分别为 $x_1=1,x_2=3$。 根据二次函数 $y=(x-1)(x-3)$ 的图象特征（开口向上），当函数值大于 0 时，自变量 $x$ 取两根之外的区间。 解得： $x<1\text{或}x>3$

用集合形式表述为： $\{x\mid x<1\text{ 或 }x>3\}$

正确选项： C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式不等式同号等价变形机制；一元二次不等式的区间锁定。
2. 核心方法：等价转化法。
3. 避坑指南：

• 盲目去分母陷阱：切忌在不知道分母符号的前提下两边同乘以 $x-3$ 导致不等号方向错乱。分式不等式必须转化为乘积式求解。
• 区间混淆陷阱：容易将“大于取两边”误记为“小于取中间”而错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于代数板块最基础的送分选择题第一题，取材于高中数学教材“不等式”章节关于分式不等式解法的课后标准练习题。
2. 结论推广： 对于通用型分式不等式 $\frac{x-a}{x-b}>0(a<b)$，其解集恒具有不变量形式： $x\in (-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$ 该模型是微积分中确定有理分式函数定义域、以及判定合理有界点邻域的基本初等代数基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-02 单-分式不等式解集
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件