2001-新课标理-09 单-不定方程整数解计数

本题导读

本题考查分类计数，以及不定方程非负整数解的列举。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得 $3$ 分；平一场，得 $1$ 分；负一场，得 $0$ 分.一球队打完 $15$ 场，积 $33$ 分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有()

A. $3$ 种　　　　　B. $4$ 种　　　　　C. $5$ 种　　　　　D. $6$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设胜 $w$、平 $d$、负 $l$ 场，$3w+d=33$，$w+d+l=15$。
2. 消元得 $l=2w-18$，按 $w$ 可能值列举。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设胜、平、负的场数分别为 $w$，$d$，$l$，则 $3w+d=33$，$w+d+l=15$．消去 $d$ 得 $l=2w-18$．由 $l\ge 0$ 得 $w\ge 9$，由 $d=33-3w\ge 0$ 得 $w\le 11$，故 $w=9,10,11$，对应 $(w,d,l)=(9,6,0)$，$(10,3,2)$，$(11,0,4)$，共 $3$ 种情况，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不定方程整数解计数

核心方法：$3w+d=33$，$w+d+l=15$ 得 $l=2w-18\ge 0$，$d=33-3w\ge 0$，$w=9,10,11$ 共 $3$ 种

避坑指南：不定方程按非负整数解列举

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材计数原理

结论推广：一般地，不定方程整数解按字母可能值分类列举

方法推广：不定方程分类列举

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-05 单-分类计数
• 2007-陕西文-15 填-分类计数分配方案
• 2009-江西卷文-10 单-比赛相遇概率