2001-新课标卷文-11 单-屋顶投影面积

本题导读

本题考查斜面面积与其水平投影面积的关系，以及空间想象能力。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 $P_1$，$P_2$，$P_3$.若屋顶斜面与水平面所成的角都是 $\alpha$，则()

A. $P_3>P_2>P_1$　　　B. $P_3>P_2=P_1$　　　C. $P_3=P_2>P_1$　　　D. $P_3=P_2=P_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三种盖法的水平投影（屋底面积）相同。
2. 斜面面积 $=$ 水平投影面积 $÷\cos \alpha$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设屋顶水平投影的面积为 $S_0$，三种盖法的水平投影相同．每个斜面与水平面成角 $\alpha$，故斜面面积 $P_i$ 与其水平投影面积 $S_0$ 满足 $S_0=P_i\cos \alpha$，即 $P_i=\frac{S_0}{\cos \alpha }$（$i=1,2,3$）．因 $S_0$ 与 $\cos \alpha$ 相同，故 $P_1=P_2=P_3$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：屋顶投影面积

核心方法：三种盖法水平投影面积相同，斜面面积 $P_i=\frac{S_0}{\cos \alpha }$，故 $P_1=P_2=P_3$

避坑指南：斜面面积 $=$ 水平投影面积 $÷\cos \alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材投影与面积

结论推广：一般地，斜面面积 $=$ 水平投影面积 $÷\cos \alpha$

方法推广：投影面积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-08 单-向量投影相等定关系
• 2010-江西卷文-13 填-向量投影定义