2001-新课标卷文-09 单-球赛计分计数

本题导读

本题考查不定方程的整数解，以及简单计数问题。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得 $3$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场得 $0$ 分.一球队打完 $15$ 场，积 $33$ 分.若不考虑顺序，该队胜、平、负的可能情况共有()

A. $3$ 种　　　　　B. $4$ 种　　　　　C. $5$ 种　　　　　D. $6$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设胜 $x$ 场、平 $y$ 场，列方程 $3x+y=33$ 且 $x+y\le 15$。
2. 枚举满足条件的非负整数解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设胜 $x$ 场、平 $y$ 场，则 $3x+y=33$，且 $x+y\le 15$（负 $15-x-y$ 场非负）．由 $3x+y=33$ 得 $y=33-3x$，代入 $x+y\le 15$ 得 $x+33-3x\le 15$，即 $x\ge 9$；又 $y\ge 0$ 得 $x\le 11$．故 $x=9,10,11$，对应 $y=6,3,0$，共 $3$ 种情况，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球赛计分计数

核心方法：设胜 $x$ 场、平 $y$ 场，则 $3x+y=33$，$x+y\le 15$，解得 $x=11,y=0$ 至 $x=8,y=9$，整数解共 $3$ 种

避坑指南：不定方程 $3x+y=33$ 且 $x+y\le 15$，枚举整数解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材不定方程的整数解

结论推广：一般地，计分问题化为不定方程枚举非负整数解

方法推广：列方程枚举整数解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-02 单-逆命题
• 2011-陕西卷文-01 单-四种命题逆命题