2001-大纲理-22 解-函数的奇偶性与对称性

本题导读

本题考查函数的奇偶性与对称性。核心在于特殊值赋值法、周期对称性递推法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x=1$ 对称，对任意 $x_1,x_2\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$，都有 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$，且 $f(1)=a>0$.

(1) 求 $f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(\frac{1}{4}\right)$；

(2) 证明 $f(x)$ 是周期函数；

(3) 记 $a_n=f\left(2n+\frac{1}{2n}\right)$，求 ${\lim }_{n\to \infty }(\ln a_n)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：已知 $x_1,x_2\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 时的乘法关系式 $f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$。可通过性质将全局条件 $f(1)=a$ 与局部条件建立代数联系。利用对称性或偶函数性质，将自变量逐步拆分（例如令 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$ 求解 $f\left(\frac{1}{2}\right)$），以此类推进行特殊值迭代。
2. 第（2）问思路：已知 $f(x)$ 是偶函数，满足 $f(-x)=f(x)$；图象关于 $x=1$ 对称，满足 $f(1+x)=f(1-x)$ （或 $f(2-x)=f(x)$）。将这两个对称性公式进行复合交替代换，设法推导出形如 $f(x+T)=f(x)$ 的标准周期判定式。
3. 第（3）问思路：

• 利用第（2）问中求得的函数周期 $T$，将数列自变量 $2n+\frac{1}{2n}$ 进行周期性化简，使其收敛于基础主值区间内；
• 确定 $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 时的通项解析式模型（即指数模型 $f(x)=A^x$），代入 $a_n$ 表达式中；
• 对方程两边取自然对数 $\ln a_n$，应用极限运算法则求得结果。

✅【答案】

Success

(1) $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{a}$，$f\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt[4]{a}$

(2) 证明见解析（周期为 $2$）

(3) ${\lim }_{n\to \infty }(\ln a_n)=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $f\left(\frac{1}{2}\right),f\left(\frac{1}{4}\right)$

因为 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，所以对任意 $x\in \mathbf{R}$ 满足： $f(1+x)=f(1-x)$ 在上式中令 $x=\frac{1}{2}$，可得： $f\left(1+\frac{1}{2}\right)=f\left(1-\frac{1}{2}\right)⟹f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$

同理，因为 $f(x)$ 为偶函数满足 $f(-x)=f(x)$，对对称式 $f(1+x)=f(1-x)$ 作自变量平移变形，可得通用对称关系： $f(x)=f(2-x)\text{(1)}$

在已知乘法方程 $f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$ 中，令 $x_1=x_2=\frac{1}{2}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$，得： $f(1)=f\left(\frac{1}{2}\right)\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)={\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]}^2$ 已知 $f(1)=a$，所以： ${\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]}^2=a$ 当 $x_1=x_2=0$ 时， $f(0)=[f(0){]}^2⟹f(0)=1$（因 $f(1)=a>0$， $f(0)$ 不能为 0）。同理当 $x_1=x_2=x$ 时， $f(2x)=[f(x){]}^2\ge 0$，说明该区间内函数值恒正。 因此取正根解得： $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

进一步，令 $x_1=x_2=\frac{1}{4}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 代入原方程中，得： $f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)\cdot f\left(\frac{1}{4}\right)={\left[f\left(\frac{1}{4}\right)\right]}^2$ 结合已求结果 ${\left[f\left(\frac{1}{4}\right)\right]}^2=a^{\frac{1}{2}}$，开方取正根解得： $f\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{a^{\frac{1}{2}}}=a^{\frac{1}{4}}$

（2）证明 $f(x)$ 是周期函数

由题意知， $f(x)$ 满足以下两个基本性质：

• 偶函数性质： $f(-x)=f(x)\text{(2)}$
• 轴对称性质： $f(1+x)=f(1-x)\text{(3)}$

将 ② 式代入 ③ 式的右侧，由于 $f(1-x)=f(-(x-1))=f(x-1)$，所以： $f(1+x)=f(x-1)$ 用 $x+1$ 代替上式中的 $x$，可得： $f(x+2)=f(x)$

根据周期函数的定义，对于定义域内的任意 $x$，均存在非零常数 $T=2$，使得 $f(x+2)=f(x)$ 恒成立。 因此， $f(x)$ 是周期函数，其一个正周期为 $2$。

（3）求 ${\lim }_{n\to \infty }(\ln a_n)$

由周期性化简数列通项的自变量 已知 $a_n=f\left(2n+\frac{1}{2n}\right)$。 根据第（2）问已证的周期性，该函数的周期为 $2$。因为 $n$ 是正整数，所以 $2n$ 是 2 的整数倍。 利用周期消除性质 $f(x+2k)=f(x)(k\in \mathbb{Z})$，可得： $a_n=f\left(2n+\frac{1}{2n}\right)=f\left(\frac{1}{2n}\right)$

求出函数在局部定义域内的解析通项 当 $n\to \infty$ 时，显然存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时满足 $\frac{1}{2n}\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$。 由此可以安全地在目标自变量上套用题干的连乘方程。 由第（1）问的特殊值规律： $f(1)=a^1,f\left(\frac{1}{2}\right)=a^{\frac{1}{2}},f\left(\frac{1}{4}\right)=a^{\frac{1}{4}}$ 进一步推广，对于任意满足 $\sum x_k\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 的点，抽象函数方程 $f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$ 的唯一代数解为指数函数模型。 设 $f(x)=a^x\left(x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]\right)$。 将自变量 $\frac{1}{2n}$ 代入此指数模型中，解得数列 $a_n$ 的标准解析通项为： $a_n=a^{\frac{1}{2n}}$

计算极限值 将 $a_n=a^{\frac{1}{2n}}$ 代入目标极限式中： $\ln a_n=\ln \left(a^{\frac{1}{2n}}\right)=\frac{1}{2n}\cdot \ln a$

由于 $a>0$ 为常数， $\ln a$ 亦为固定常数。对上式两边求 $n\to \infty$ 时的极限： ${\lim }_{n\to \infty }(\ln a_n)={\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{\ln a}{2n}\right)=\ln a\cdot {\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{2n}\right)$ 因为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2n}=0$，所以： ${\lim }_{n\to \infty }(\ln a_n)=\ln a\times 0=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数方程在局部区间向指数模型的转化；“双对称轴”或“一轴一中心”向周期性的代数推导；极限的连续性运算法则。
2. 核心 method：特殊值赋值法、双轴复合法。
3. 避坑指南：

• 数归不严谨陷阱：在第（3）问中，由 $f\left(\frac{1}{2}\right)=a^{\frac{1}{2}}$ 外推到 $f\left(\frac{1}{2n}\right)=a^{\frac{1}{2n}}$ 需要严密的数学归纳。可由 $f\left(\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)={\left[f\left(\frac{1}{2n}\right)\right]}^{2n}=f(1)=a$ 进行逆向开方论证。
• 大跨度自变量未化简陷阱：若忽视了第（2）问的周期性，直接尝试对 $2n+\frac{1}{2n}$ 使用乘法方程展开，会导致因自变量脱离 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 区间而使条件完全失效。面对大自变量的抽象函数，必须首先通过周期性或对称性将其平移回基础主值区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是整张试卷的压轴题，属于具有高度选拔性的高难度综合题。
2. 结论推广： 本题的物理数学模型可一般化推广为通用的**“双周期函数模型”**： 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 若同时关于 $x=a$ 和 $x=b$ 对称，则该函数必为周期函数，且其一个周期长度为 $T=2|b-a|$。

$f(x)=e^{k\cdot \text{dist}(x,\Lambda )}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性