2001-大纲理-17 解-棱锥的体积公式

本题导读

本题考查棱锥的体积公式。核心在于空间向量坐标法、传统几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中， $\angle ABC=90^{\circ }$ ， $SA\perp$ 面 $ABCD$ ， $SA=AB=BC=1$ ， $AD=\frac{1}{2}$ .

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积；

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问思路：已知 $SA\perp$ 面 $ABCD$，则 $SA$ 为四棱锥的高。底面 $ABCD$ 为直角梯形，其中 $AB$ 为直角腰， $AD,BC$ 为上下底。直接运用梯形面积公式求底面积，再由 $V=\frac{1}{3}Sh$ 计算体积。
2. 第（2）问思路：由于 $SA,AB,BC$ 两两垂直，可以以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系。

• 写出各个顶点的坐标；
• 确定平面 $SBA$ 与平面 $SCD$ 的法向量；
• 利用法向量夹角的余弦值公式求出二面角的余弦值，再通过同角三角函数基本关系式转化为正切值。

✅【答案】

Success

(1) 四棱锥 $S-ABCD$ 的体积为 $\frac{1}{4}$

(2) 面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成二面角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积

因为 $\angle ABC=90^{\circ }$，且在梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$，所以 $AB$ 为直角梯形 $ABCD$ 的高。 已知 $AD=\frac{1}{2},BC=1,AB=1$，底面直角梯形的面积为： $S_{ABCD}=\frac{(AD+BC)\cdot AB}{2}=\frac{\left(\frac{1}{2}+1\right)\times 1}{2}=\frac{3}{4}$

因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $SA$ 是四棱锥 $S-ABCD$ 的高，且 $SA=1$。 根据棱锥体积公式： $V_{S-ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}\times 1=\frac{1}{4}$

（2）求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值

建立空间直角坐标系 因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$， $AB,AD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $SA\perp AB,SA\perp AD$。 又 $\angle ABC=90^{\circ }⟹AB\perp BC$。在平面直角梯形中， $AD\parallel BC⟹AB\perp AD$。 综上可知， $AB,AD,SA$ 两两互相垂直。 以 $A$ 为坐标原点，射线 $AB,AD,AS$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。

各关键顶点的坐标为： $A(0,0,0),B(1,0,0),D\left(0,\frac{1}{2},0\right),S(0,0,1)$ 由于 $BC=1$ 且 $BC\parallel y$ 轴，可得 $C(1,1,0)$。

求各平面的法向量

1. 求平面 $SBA$ 的法向量： 因为平面 $SBA$ 即为空间直角坐标系中的 $xOz$ 平面，其法向量显然为 $y$ 轴的方向向量。 取平面 $SBA$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$

2. 求平面 $SCD$ 的法向量： 计算平面内的两个向量坐标： $\overrightarrow{SD}=\left(0,\frac{1}{2},-1\right),\overrightarrow{CD}=\left(-1,-\frac{1}{2},0\right)$ 设平面 $SCD$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$，根据法向量垂直于平面内所有向量： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{SD}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CD}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}y-z=0\\ -x-\frac{1}{2}y=0\end{array}$ 令 $y=2$，可得 $z=1,x=-1$。 则平面 $SCD$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_2=(-1,2,1)$

计算二面角的正切值 设面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成二面角的大小为 $\theta$ （ $\theta$ 为锐角），其大小等于两法向量夹角的模或补角： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0\times (-1)+1\times 2+0\times 1|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\times \sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{1\times \sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，根据同角三角函数基本关系式： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

从而求得二面角的正切值： $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直四棱柱/锥几何特征图象分析；建系法求空间平面法向量；法向量夹角向二面角空间几何意义的平移映射。
2. 核心方法：空间直角坐标系法（向量法）。
3. 避坑指南：

• 名称混淆与正切转化陷阱：本题第（2）问最终要求的是**“二面角的正切值”**。通过法向量点积公式直接算出来的是 $\cos \theta$，切忌由于思维惯性直接将 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 作为最终答案写出，必须利用平方和关系转化为 $\tan \theta$ 形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大题的第一道，属于常规中档难度题，直接取材于高中数学“空间向量与立体几何”章节中关于面面垂直与交角计算的经典例题。
2. 结论推广： 本题也可以采用传统几何法（交线延长平移法）进行双向验证： 延长 $BA$ 与 $CD$ 相交于点 $P$。因为 $AD\parallel BC$ 且 $AD=\frac{1}{2}BC$，所以 $AD$ 是 $△PBC$ 的中位线。由此可得 $A$ 是 $PB$ 的中点，即 $PA=AB=1$。 连接 $SP$。因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD⟹SA\perp PB$。又 $PA=AB$，所以 $△SPB$ 是等腰三角形。 通过找平面 $SBA$（即平面 $SPB$）与平面 $SCD$（即平面 $SCDP$）的公共交线 $SP$，利用三垂线定理即可找出二面角的平面角，其几何运算结果与空间向量坐标法完全闭合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 1958-湖南-07 解-正六棱锥的体积
• 1977-内蒙古文-02 解-梯形与圆台