2001-大纲理-10 单-函数的单调性

本题导读

本题考查函数的单调性，以及函数的和差性质。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 设 $f(x),g(x)$ 都是单调函数，有如下四个命题中，正确的命题是() ① 若 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ② 若 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递增； ③ 若 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递增，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减； ④ 若 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递减，则 $f(x)-g(x)$ 单调递减.

A. ①③　　　　　　　B. ①④　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 单调性的符号运算法则：

• 若 $g(x)$ 单调递增，则 $-g(x)$ 严格单调递减；
• 若 $g(x)$ 单调递减，则 $-g(x)$ 严格单调递增。

2. 同向增减的可加性定理：

• 两个单调递增函数的和（增 + 增）必然单调递增；
• 两个单调递减函数的和（减 + 减）必然单调递减。

3. 转化减法为加法结构：将目标函数重组为 $f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$，对照上述定理判断四个命题的对错。
4. 反例排除不确定项：对于增减抵消（如“增 + 减”）的不确定组合，构造最基础的一次线性函数作为反例进行定量排除。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据函数单调性的定义，对四个命题逐一进行严格判定：

判定命题 ①： 已知 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递增。 根据相反数的单调性性质， $-g(x)$ 必然单调递减。 此时 $f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$ 演变为“增函数 + 减函数”，其合函数的单调性取决于两者的变化速率，方向不确定。 构造反例：令 $f(x)=x$（增）， $g(x)=2x$（增），则 $f(x)-g(x)=x-2x=-x$，该函数单调递减。与命题①的“单调递增”矛盾，故 ① 错误。

判定命题 ②： 已知 $f(x)$ 单调递增， $g(x)$ 单调递减。 根据相反数的性质， $-g(x)$ 必然单调递增。 因为“增函数 + 增函数 = 增函数”，所以 $f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$ 必定严格单调递增。故 ② 正确。

判定命题 ③： 已知 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递增。 根据相反数的性质， $-g(x)$ 必然单调递减。 因为“减函数 + 减函数 = 减函数”，所以 $f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$ 必定严格单调递减。故 ③ 正确。

判定命题 ④： 已知 $f(x)$ 单调递减， $g(x)$ 单调递减。 根据相反数的性质， $-g(x)$ 必然单调递增。 此时 $f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]$ 演变为“减函数 + 增函数”，方向不确定。 构造反例：令 $f(x)=-2x$（减）， $g(x)=-x$（减），则 $f(x)-g(x)=-2x-(-x)=-x$，该函数单调递减（看似符合）； 但若换一组，令 $f(x)=-x$（减）， $g(x)=-2x$（减），则 $f(x)-g(x)=-x-(-2x)=x$，该函数单调递增。与命题④的“单调递减”矛盾，故 ④ 错误。

综上所述，正确的命题为 ② 和 ③。

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本单调函数的线性组合性质；增减函数的代数相加不变量模型。
2. 核心方法：“增减性质转化法”。熟记口诀：增 + 增 = 增，减 + 减 = 减；增 - 减 = 增，减 - 增 = 减。
3. 避坑指南：

• 直觉经验错位陷阱：部分学生容易凭直觉认为“增函数减去增函数，由于两个都是增，减完还是增”，从而误选 A 或 B。必须在草稿纸上利用导数或具体的一次函数（如 $x-2x$）代入，通过反例快速实现对错误选项的选择性屏蔽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的函数基本性质概念辨析选择题，属于中档拉分客观题。取材于高中代数教材中“函数的单调性”章节关于单调性判定的性质归纳拓展题。
2. 结论推广： 本题的四条命题实际上可以完备地推广并推广到高阶微积分中导数符号的线性叠加法则： 设 $f(x),g(x)$ 在特定区间内可导，则单调递增对应一阶导数大于 0（$f^{\prime }(x)>0$），单调递减对应一阶导数小于 0（$f^{\prime }(x)<0$）。 对于组合函数 $H(x)=f(x)-g(x)$，其导数为 $H^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$：

• 对应命题 ②： $f^{\prime }(x)>0$ 且 $g^{\prime }(x)<0⟹H^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)>0$，导数恒正说明函数必然单调递增；
• 对应命题 ③： $f^{\prime }(x)<0$ 且 $g^{\prime }(x)>0⟹H^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)<0$，导数恒负说明函数必然单调递减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断