2001-大纲理-08 单-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及正弦函数的图象与单调性。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 若 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$， $\sin \alpha +\cos \alpha =a$， $\sin \beta +\cos \beta =b$，则()

A. $a>b$　　　　B. $a<b$　　　　C. $ab<1$　　　　D. $ab>2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化为单一正弦形式：利用辅助角公式将 $a=\sin \alpha +\cos \alpha$ 和 $b=\sin \beta +\cos \beta$ 分别化简为 $f(\theta )=\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 的形式。
2. 确定复合角的范围：已知 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，分别求出 $\alpha +\frac{\pi }{4}$ 和 $\beta +\frac{\pi }{4}$ 的范围。
3. 判定单调性比较大小：根据正弦函数在对应区间内的单调性，比较 $f(\alpha )$ 与 $f(\beta )$ 的大小，进而得出 $a$ 与 $b$ 的大小关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接法（单调性分析）

令函数 $f(x)=\sin x+\cos x$。 提取 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ 进行合一变形： $f(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

由题意可知： $a=f(\alpha )=\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ $b=f(\beta )=\sqrt{2}\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)$

分析复合角的范围与函数单调性 已知： $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$ 各部分同时加上 $\frac{\pi }{4}$，得到复合角的变化范围： $\frac{\pi }{4}<\alpha +\frac{\pi }{4}<\beta +\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$

因为正弦函数在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增。 所以在该区间内，自变量越大，对应的正弦值也越大： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)<\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)$ 两边同时乘以 $\sqrt{2}$，不等号方向不变： $\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)<\sqrt{2}\sin \left(\beta +\frac{\pi }{4}\right)⟹a<b$

B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$；正弦函数在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的单调性。
2. 核心方法：构造函数单调性判定法。
3. 避坑指南：

• 特殊值排除法：在选择题中，可选取符合题意的特殊角进行排除。 令 $\alpha =0$（临界值），得 $a=\sin 0+\cos 0=0+1=1$。 令 $\beta =\frac{\pi }{4}$（临界值），得 $b=\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1.414$。 因为实际取值满足 $0<\alpha <\beta <\frac{\pi }{4}$，所以 $a,b$ 满足 $1<a<b<\sqrt{2}$。
  • 由 $a<b$ 可直接判定 B 选项正确，A 选项错误；
  • 估算乘积范围：因为 $1<a<\sqrt{2}$ 且 $1<b<\sqrt{2}$，所以 $1<ab<2$。
  • C 选项说 $ab<1$，矛盾排除；
  • D 选项说 $ab>2$，矛盾排除。
• 极易因对 $\sin x+\cos x$ 的单调区间不熟练，误认为含余弦项后函数会递减而错选 A。必须先化简为单一三角函数再判单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角恒等变换与函数性质交汇的客观题，取材于高中三角学教材“两角和与差的三角函数”中关于辅助角公式应用的巩固题。
2. 结论推广：对于 $f(x)=A\sin x+B\cos x$，可化为 $\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{B}{A}$，据此讨论其单调区间与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断