2001-大纲理-06 单-反函数的概念与求解方法

本题导读

本题考查反函数的概念与求解方法，以及反三角函数的定义域与值域。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 函数 $y=\cos x+1(-\pi \le x\le 0)$ 的反函数是()

A. $y=-\arccos (x-1)(0\le x\le 2)$　　　　　　B. $y=\pi -\arccos (x-1)(0\le x\le 2)$

C. $y=\arccos (x-1)(0\le x\le 2)$　　　　　　　D. $y=\pi +\arccos (x-1)(0\le x\le 2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求原函数的值域以确定反函数的定义域：已知 $-\pi \le x\le 0$，利用余弦函数的图象性质求出 $y=\cos x+1$ 的取值范围，该范围即为反函数的定义域（四个选项的定义域均已给出为 $0\le x\le 2$）。
2. 反解自变量 $x$：从原方程 $y=\cos x+1$ 中移项变形，移项得 $\cos x=y-1$。
3. 结合定义域、值域进行符号重组：因为反余弦函数 $u=\arccos (y-1)$ 的标准主值范围（值域）是 $[0,\pi ]$，而原函数中 $x\in [-\pi ,0]$。为了使逆运算后的取值范围与原定义域严格对齐，需要利用诱导公式和正负号调整建立 $x$ 与 $\arccos (y-1)$ 的正确等量关系。
4. 互换字母输出：将得到的 $x=f^{-1}(y)$ 中的 $x$ 与 $y$ 互换，写出最终解析式。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接分析反解法（解析通法）

移项化简 已知原函数方程为： $y=\cos x+1(-\pi \le x\le 0)$ 移项可得： $\cos x=y-1\text{(1)}$

结合取值范围逆解 $x$ 因为 $-\pi \le x\le 0$，所以 $0\le -x\le \pi$。 根据余弦函数的偶函数性质 $\cos (-x)=\cos x$，将 ① 式变形为： $\cos (-x)=y-1$

此时，自变量 $-x$ 已经处于闭区间 $[0,\pi ]$ 内。根据反余弦函数 $\arccos t$ 的标准定义（其自变量 $t\in [-1,1]$，对应的值域严格规定在 $[0,\pi ]$ 内），可以直接对上式两边加反三角函数运算： $-x=\arccos (y-1)$ 两边同乘以 $-1$，解得 $x$ 表达式： $x=-\arccos (y-1)$

更换字母输出 将自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的位置对调，得到反函数的解析式为： $y=-\arccos (x-1)$ 由于原函数的值域为：当 $x\in [-\pi ,0]$ 时， $\cos x\in [-1,1]⟹y\in [0,2]$。 所以反函数的定义域为 $0\le x\le 2$。

综合可得反函数为： $y=-\arccos (x-1)(0\le x\le 2)$。

A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数间“定义域与值域互换”的约束；反三角主值区间 $y=\arccos t⟹y\in [0,\pi ]$ 的边界限定。
2. 核心方法：“特殊点代入排除法（快法）”。 在选择题中，利用特殊点映射能极其迅速地排查出正确答案。

• 取原函数图象上的一个特殊点：当 $x=-\pi$ 时，代入原函数得 $y=\cos (-\pi )+1=-1+1=0$。也就是说，原函数经过点 $(-\pi ,0)$。
• 根据反函数的几何性质（图象关于直线 $y=x$ 对称，坐标对换），反函数的图象必然经过点 $(0,-\pi )$。即当反函数的自变量 $x=0$ 时，计算出的因变量 $y$ 必须等于 $-\pi$。
• 将 $x=0$ 分别代入四个选项中进行验证（已知 $\arccos (0-1)=\arccos (-1)=\pi$）：
  • A: $y=-\arccos (-1)=-\pi$ （满足条件）
  • B: $y=\pi -\arccos (-1)=\pi -\pi =0\ne -\pi$ （排除）
  • C: $y=\arccos (-1)=\pi \ne -\pi$ （排除）
  • D: $y=\pi +\arccos (-1)=\pi +\pi =2\pi \ne -\pi$ （排除） 仅通过一个临界点的代入即可无死角锁定正确选项 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的三角函数与反三角函数交汇的综合拉分选择题，取材于高中数学教材“反函数与反三角函数”章节关于非标准主值区间反函数求解的拔高探究题。
2. 结论推广： 对于通用的余弦型函数 $y=\cos x$ 在任意区间 $[k\pi ,(k+1)\pi ](k\in \mathbb{Z})$ 上的反函数模型，其标准解析式可推广归纳为：

• 当 $k$ 为偶数时（函数在区间内单调递减且包含主值区间），反函数形式为： $y=k\pi +\arccos x$
• 当 $k$ 为奇数时（如本题中 $x\in [-\pi ,0]$ 对应 $k=-1$ 为奇数），函数在该区间内单调递增，其反函数通用模型为： $y=-k\pi -\arccos x\text{或写为}y=(k+1)\pi -\arccos x$ 代入本题参数 $k=-1$，底数整体向右平移 1 单位，直接得出反函数解析式为 $y=-(-1)\pi -\arccos (x-1)\text{的相反数修正}⟹y=-\arccos (x-1)$。熟记该区间迁移公式可实现对任意反三角复合方程的快速求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性