2001-大纲理-05 单-极坐标方程与直角坐标方程的互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 极坐标方程 $\rho =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 的图形是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开极坐标方程中的三角函数：利用两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 将原方程右侧展开。
2. 两边同乘 $\rho$ 构造转换结构：方程两边同时乘以 $\rho$，使其出现 ${\rho }^2$, $\rho \sin \theta$, $\rho \cos \theta$ 形式。
3. 互化为直角坐标方程：套用极坐标与直角坐标的标准转换公式：

• ${\rho }^2=x^2+y^2$
• $\rho \cos \theta =x$
• $\rho \sin \theta =y$

4. 配方确定圆心位置：将得到的直角坐标方程进行配方，求出圆心坐标和半径，与选项中的图象进行比对。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：坐标转换法（解析通法）

三角公式展开 已知极坐标方程为： $\rho =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 利用两角和的正弦公式展开右侧： $\rho =2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)$ 代入 $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\rho =2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta \right)⟹\rho =\sqrt{2}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta$

代数互化 两边同时乘以 $\rho$： ${\rho }^2=\sqrt{2}\rho \cos \theta +\sqrt{2}\rho \sin \theta$ 将直角坐标转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$, $\rho \cos \theta =x$, $\rho \sin \theta =y$ 代入上式中： $x^2+y^2=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y⟹x^2-\sqrt{2}x+y^2-\sqrt{2}y=0$

配方确定图象特征 对 $x$ 和 $y$ 分别进行配方： $\left(x^2-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}\right)+\left(y^2-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ ${\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1$

由此可知，该方程对应的图形是一个圆：

• 圆心坐标为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，位于第一象限；
• 半径 $R=1$；
• 常数项为 0 说明圆经过直角坐标系的原点 $O(0,0)$。
• 圆心到原点 $O$ 的距离为 $\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1$，恰好等于半径，且圆心位于极轴（$x$ 轴正半轴）的上方偏右 $45^{\circ }$ 方向。

比对四个选项中的图形，只有 C 选项 的圆心位于第一象限（极轴上方），且圆经过原点，半径标示为 1。

C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标到直角坐标的完备转换映射；标准圆方程的识别与位置判定。
2. 核心方法：“特殊点检验法（快法）”。 在极坐标方程 $\rho =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$ 中：

• 令 $\theta =0$（极轴方向），得 $\rho =2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$。说明圆与极轴正半轴交于距离原点 $\sqrt{2}$ 处。观察图象，A、D 的圆在极轴左侧（交点在负半轴或无交点），排除 A 和 D。
• 再令 $\theta =\frac{\pi }{4}$（指向第一象限角平分线方向），得 $\rho =2\sin \frac{\pi }{2}=2$。这正是圆的直径长度，说明直径所在射线倾斜角为 $45^{\circ }$（第一象限）。因此圆心一定在第一象限，排除 B，直接锁定制胜选项 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的坐标系与参数方程板块的基础客观题，直接取材于高中数学选修扩展教材中“极坐标系”章节关于特殊圆极坐标方程识别的课后拔高训练题。
2. 结论推广： 在极坐标系中，通过原点 $O$ 且直径为 $2R$ 的圆，若直径所在的射线与极轴所成的倾斜角为 ${\alpha }_0$，其通用的极坐标标准方程模型可归纳为： $\rho =2R\cos (\theta -{\alpha }_0)\text{或}\rho =2R\sin (\theta +\varphi )$ 利用两角和差的余弦变形，本题可重组为： $\rho =2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)=2\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$ 对照标准模型可知，该圆的半径 $R=1$，且其直径所在射线的倾斜角 ${\alpha }_0=\frac{\pi }{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标
• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程
• 1980-全国文-08 解-参数方程化为直角坐标方程