2001-大纲理-04 单-对数函数的图象与性质

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及对数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析真数的取值范围：已知自变量 $x\in (-1,0)$，通过不等式性质求出真数部分 $u=x+1$ 的取值范围。
2. 结合对数性质分析底数分类：根据对数函数的性质：

• 当底数大于 1 时，真数大于 1 则函数值大于 0，真数在 0 到 1 之间则函数值小于 0（同增）；
• 当底数在 0 到 1 之间时，真数在 0 到 1 之间则函数值大于 0，真数大于 1 则函数值小于 0（异减）。

3. 建立关于 $a$ 的不等式：依据 $f(x)>0$ 的条件，锁定底数 $2a$ 应该满足的限界范围，解出 $a$ 的区间。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

确定真数的限界范围 已知自变量 $x$ 的取值范围为： $-1<x<0$ 各部分同时加上 1，得到真数 $u=x+1$ 的取值范围： $0<x+1<1$

利用对数函数性质判定底数范围 已知在整个区间内恒有 $f(x)={\log }_{2a}(x+1)>0$。

• 根据对数函数的单调性与图象分布规律，当真数处于 $(0,1)$ 区间内时，要使对数函数值严格大于 0，该对数函数的底数必须位于 $(0,1)$ 区间内（即函数必须在定义域内单调递减）。

因此，底数 $2a$ 必须满足： $0<2a<1$

求解基本不等式 对不等式 $0<2a<1$ 各部分同时除以 2，解得 $a$ 的取值范围为： $0<a<\frac{1}{2}⟹a\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$

A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数底数 $A$ 满足 $A>0$ 且 $A\ne 1$ 的基准约束； ${\log }_{A}U>0$ 对应 $A$ 与 $U$ “同大于1或同在0到1之间”的映射性质。
2. 核心方法：真数定位法（或图象对照法）。
3. 避坑指南：

• 特殊值排除法（快法）：在选择题中，若一时间不确定对数性质，可取特殊值快速排除。 若 $a=1⟹2a=2>1$，则 $f(x)={\log }_2(x+1)$。取 $x=-0.5\in (-1,0)$ 代入，得 $f(-0.5)={\log }_2(0.5)=-1<0$，与题干 $f(x)>0$ 矛盾，说明 $a=1$ 不成立。由此可直接排除包含 $a=1$ 的 C 选项和 D 选项。 再看 A 与 B 的区别在于是否包含 $\frac{1}{2}$。若 $a=\frac{1}{2}⟹2a=1$，对数函数的底数不能为 1（无意义），故排除 B，直接锁定制胜选项 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的对数函数图象性质基础概念辨析题，取材于高中代数教材中“对数函数”章节关于对数不等式求解的课后基本练习题。
2. 结论推广： 对于通用的复合对数不等式 ${\log }_{f(a)}g(x)>0$，其在某区间内恒成立的代数充要条件可抽象为如下的等价同号乘积模型： $(f(a)-1)(g(x)-1)>0\text{且}f(a)>0,f(a)\ne 1,g(x)>0$ 代入本题参数 $f(a)=2a,g(x)=x+1$： $(2a-1)(\underset{x}{\underbrace{x+1-1}})>0⟹x(2a-1)>0$ 因为 $x\in (-1,0)$ 为负数，要使乘积为正，必须满足 $2a-1<0⟹2a<1$。结合底数大于 0 的固有约束，直接算得 $0<2a<1⟹0<a<\frac{1}{2}$。熟练运用此同号相乘模型可实现对高阶复杂复合对数不等式的快速化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断