2001-大纲理-01 单-三角函数在各象限的符号

本题导读

本题考查三角函数在各象限的符号，以及不等式的乘法性质。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(理)） 若 $\sin \theta \cos \theta >0$，则 $\theta$ 在()

A. 第一、二象限　　　　　　　　　　　　　　　B. 第一、三象限

C. 第一、四象限　　　　　　　　　　　　　　　D. 第二、四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析乘积大于零的代数条件：根据实数乘法的符号法则，两个实数相乘大于零，说明这两个数同号，即同为正数或同为负数。
2. 分类讨论象限符号：

• 情况一： $\sin \theta >0$ 且 $\cos \theta >0$；
• 情况二： $\sin \theta <0$ 且 $\cos \theta <0$。

3. 锁定最终象限：结合三角函数在各象限的符号特征，找出满足上述条件的象限集合。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

代数条件化简 已知 $\sin \theta \cos \theta >0$，根据两数相乘“同号得正”的原则，可得以下两种可能： $\{\begin{array}{l}\sin \theta >0\\ \cos \theta >0\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}\sin \theta <0\\ \cos \theta <0\end{array}$

分类判定象限

1. 当 $\sin \theta >0$ 且 $\cos \theta >0$ 时：

• 正弦函数 $\sin \theta >0$ 的象限为第一、二象限；

• 余弦函数 $\cos \theta >0$ 的象限为第一、四象限；

• 取交集，两函数同为正号的区域为第一象限。

2. 当 $\sin \theta <0$ 且 $\cos \theta <0$ 时：

• 正弦函数 $\sin \theta <0$ 的象限为第三、四象限；
• 余弦函数 $\cos \theta <0$ 的象限为第二、三象限；
• 取交集，两函数同为负号的区域为第三象限。

综上所述，角 $\theta$ 位于第一或第三象限。

B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数值在各象限的符号分布规律。
2. 核心方法：同号区间交集法（或直接化为二倍角正弦公式 $\sin 2\theta >0$ 进行求解）。
3. 避坑指南：避免将正弦和余弦的符号区域记混。可以熟记口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的三角函数基础概念题，直接取材于高中数学教材“任意角的三角函数”章节中的课后巩固练习题。
2. 结论推广： 本题条件 $\sin \theta \cos \theta >0$ 还可以等价转化为正切函数的形式。因为 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$，在 $\cos \theta \ne 0$ 的定义域内，其商的符号与乘进符号完全一致： $\sin \theta \cos \theta >0⟺\tan \theta >0$ 这一变形常用于简析高阶三角不等式或在极坐标系中判定射线所在的象限区域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问
• 1986-上海文-14 单-三角函数值大小比较