2001-上海卷理-18 解-椭圆的定义与标准方程

本题导读

本题考查椭圆的定义与标准方程。核心在于定义转化法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点, $P$ 为椭圆上的一点. 已知 $P,F_1,F_2$ 是一个直角三角形的三个顶点, 且 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$, 求 $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取椭圆基本量：根据椭圆方程得出 $a,b,c$ 的值，并利用椭圆定义得出焦半径之和 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$。
2. 确定直角顶点：由于 $|P{F}_1|>|P{F}_2|$，$\angle P{F}_1{F}_2$ 必为锐角，直角顶点只能是 $P$ 或 $F_2$，必须分两种情况讨论。
3. 联立方程组求解：分别针对 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$ 和 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$ 两种情况，利用勾股定理建立关于焦半径的二次方程组进行求解。

✅【答案】

Success

$\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}$ 的值为 $2$ 或 $\frac{7}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

提取椭圆基本量与定义式 由椭圆方程 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知： $a^2=9⟹a=3$ $b^2=4⟹b=2$ $c^2=a^2-b^2=5⟹c=\sqrt{5}$ 焦距 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{5}$。 设 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。根据椭圆的定义，有： $m+n=2a=6\text{(1)}$ 又已知 $m>n$。

分类讨论直角顶点 因为 $△P{F}_1{F}_2$ 是直角三角形且 $m>n$，其对角 $\angle P{F}_1{F}_2$ 不能为直角，故直角顶点只能是 $P$ 或 $F_2$。

情况一：当 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$ 时 根据勾股定理： $|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2⟹m^2+n^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20$ 结合 ① 式，将 $m+n=6$ 两边平方得 $(m+n{)}^2=36$，即： $m^2+n^2+2mn=36$ 代入 $m^2+n^2=20$，解得： $2mn=16⟹mn=8$ 因此 $m,n$ 是一元二次方程 $t^2-6t+8=0$ 的两根。解得 $t=2$ 或 $t=4$。 由于 $m>n$，故 $m=4,n=2$。 此时比值为： $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=\frac{4}{2}=2$

情况二：当 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$ 时 根据勾股定理： $|P{F}_1{|}^2=|P{F}_2{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2⟹m^2=n^2+20⟹m^2-n^2=20$ 利用平方差公式展开： $(m+n)(m-n)=20$ 代入 $m+n=6$，得： $6(m-n)=20⟹m-n=\frac{10}{3}$ 联立 $m+n=6$，解得： $m=\frac{14}{3},n=\frac{4}{3}$ 此时比值为： $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=\frac{\frac{14}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{7}{2}$

$\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}$ 的值为 $2$ 或 $\frac{7}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 与焦距 $2c$ 的提取；结合勾股定理将几何关系转化为代数方程组。
2. 核心方法：方程组消元法、分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 分类讨论遗漏陷阱：本题最易失分之处在于惯性思维只考虑直角在点 $P$ 处的情况，从而遗漏了直角在焦点 $F_2$ 处（即点 $P$ 位于椭圆通径的端点位置）的合法解。在未明确指明直角顶点时，必须根据已知边长的不等关系，穷尽所有可能的几何构型。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何中经典的“焦点三角形”问题，考察形式基础但对思维的严密性要求较高。
2. 结论推广： 对于焦点三角形 $△P{F}_1{F}_2$，若顶角 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则该三角形的面积存在绝对不变量公式： $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$ 在本题情况一（ $\theta =90^{\circ }$）中，直接代入公式得 $S=4\times \tan 45^{\circ }=4$。这与利用求出的焦半径计算的面积 $\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$ 结论完全一致，可作为大题验算的有效辅助手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量
• 1985-广东文-24 单-椭圆的标准方程