2001-上海卷理-17 解-三角形面积公式

本题导读

本题考查三角形面积公式。核心在于公式代入法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 已知 $a,b,c$ 是 $△ABC$ 中 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的对边，$S$ 是 $△ABC$ 的面积，若 $a=4,b=5,S=5\sqrt{3}$，求 $c$ 的长度.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用面积公式求夹角正弦值：代入已知边长与面积至公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，解出 $\sin C$。
2. 分类讨论确定夹角：由于在三角形中 $C\in (0,\pi )$，依据正弦值求出 $\angle C$ 可能的两个角度值（锐角或钝角）。
3. 应用余弦定理求第三边：针对 $\angle C$ 的不同取值，分别代入余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 计算得出 $c$ 的长度。

✅【答案】

Success

$c$ 的长度为 $\sqrt{21}$ 或 $\sqrt{61}$

✍【详细解析】

Abstract

求 $\angle C$ 的正弦值及角度 根据三角形面积公式： $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 将已知条件 $a=4,b=5,S=5\sqrt{3}$ 代入： $5\sqrt{3}=\frac{1}{2}\times 4\times 5\times \sin C$ $5\sqrt{3}=10\sin C⟹\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $C$ 为 $△ABC$ 的内角，故 $C\in (0,\pi )$。 满足 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角有两解： $C=\frac{\pi }{3}\text{或}C=\frac{2\pi }{3}$

利用余弦定理分类求解边 $c$ 根据余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

情况一： 当 $C=\frac{\pi }{3}$ 时，$\cos C=\frac{1}{2}$。 $c^2=4^2+5^2-2\times 4\times 5\times \frac{1}{2}$ $c^2=16+25-20=21$ 解得：$c=\sqrt{21}$

情况二： 当 $C=\frac{2\pi }{3}$ 时，$\cos C=-\frac{1}{2}$。 $c^2=4^2+5^2-2\times 4\times 5\times \left(-\frac{1}{2}\right)$ $c^2=16+25+20=61$ 解得：$c=\sqrt{61}$

$c$ 的长度为 $\sqrt{21}$ 或 $\sqrt{61}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与余弦定理的串联应用。
2. 核心方法：方程求解法、分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 单解漏根陷阱：在解出 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 后，极易仅凭借第一象限特殊角惯性直接取 $C=\frac{\pi }{3}$，从而遗漏钝角 $C=\frac{2\pi }{3}$ 的情况。在解三角形中，由正弦值反推角度时，必须严格验证锐角和钝角两类可能，除非题干有额外约束（如大边对大角限定了极值）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的解三角形解答题，考察形式为经典的“已知两边一面积求第三边”，源自高中教材中正弦定理与余弦定理章节的标准综合应用模型。
2. 结论推广： 在平面几何中，已知三角形两边 $a,b$ 及面积 $S$，等价于确定了两边的夹角正弦值 $\sin C=\frac{2S}{ab}$。只要 $S<\frac{1}{2}ab$（即 $\sin C<1$），则该构型必然存在两组不全等的三角形实体（即几何上的 SSA 多解性投影或高度受限导致的折叠对称）。所求第三边 $c$ 恒满足一元二次方程组根的特征，其双解模型可闭式表达为： $c=\sqrt{a^2+b^2\mp 2\sqrt{a^2{b}^2-4S^2}}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标Ⅱ理-04 单-三角形面积
• 2024-北京卷-16 解-解三角形
• 1956-全国-01 解-五小问综合（对数判别式中线余弦韦达）