2001-上海卷理-16 单-函数的单调性与极值

本题导读

本题考查函数的单调性与极值，以及函数的极限。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 用计算器验算函数 $y=\frac{\lg x}{x}$ ($x>1$) 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 ()

A. $y=\frac{\lg x}{x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上是单调减函数

B. $y=\frac{\lg x}{x}$, $x\in (1,+\infty )$ 的值域为 $\left(0,\frac{\lg 3}{3}\right]$

C. $y=\frac{\lg x}{x}$, $x\in (1,+\infty )$ 有最小值

D. ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\lg n}{n}=0$, $n\in \mathbf{N}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数值验算法：取典型的离散值（如 $x=2,3,4,10,100$）代入计算，观察纵坐标的变化轨迹，直接排谬。
2. 导数严谨论证法：对原函数求导，找出驻点（极大值点），确定确切的单调区间，并分析 $x\to 1^{+}$ 和 $x\to +\infty$ 时的极限边界。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

基于计算器特殊值代入法的直观排误 取若干整数点进行数值估算：

• $x=2$ 时： $y\approx \frac{0.3010}{2}=0.1505$
• $x=3$ 时： $y\approx \frac{0.4771}{3}=0.1590$
• $x=4$ 时： $y\approx \frac{0.6021}{4}=0.1505$
• $x=10$ 时： $y=\frac{1}{10}=0.1$
• $x=100$ 时： $y=\frac{2}{100}=0.02$

逐项判定选项真伪

• 对于 (A)：因为 $y(2)<y(3)$，所以函数在区间起步阶段是单调递增的，并非在 $(1,+\infty )$ 上全域递减。(A) 错。
• 对于 (C)：观察趋势可知，当 $x\to 1^{+}$ 时， $\lg x\to 0^{+}$，故 $y\to 0^{+}$。因 $y>0$ 恒成立，函数值无限趋近于 0 但无法取到 0，故不存在最小值。(C) 错。
• 对于 (D)：由 $x=10,100$ 时的取值序列 $0.1,0.02,0.003\dots$ 明显可知，随着 $n$ 的增大，函数值逐渐趋近于 0，即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\lg n}{n}=0$。(D) 正确。

利用导数对 (B) 项进行严密证伪 将底数转化为自然对数： $y=\frac{\ln x}{x\ln 10}$。 求导数： $y^{\prime }=\frac{1}{\ln 10}\cdot \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2\ln 10}$ 令 $y^{\prime }=0$，解得唯一驻点： $\ln x=1⟹x=e$。

• 当 $1<x<e$ 时， $y^{\prime }>0$，单调递增；
• 当 $x>e$ 时， $y^{\prime }<0$，单调递减。 因此，函数在 $x=e\approx 2.718$ 处取得全局最大值 $y_{\max }=\frac{\lg e}{e}$。 由于 $e\ne 3$，最大值并非在 $x=3$ 处取得，(B) 错。

(D)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数求极值判定单调性；多项式函数与对数函数的增长阶比对（ ${\lim }_{x\to \infty }\frac{{\log }_{a}x}{x}=0$）。
2. 核心方法：特值排除法、导数求导法。
3. 避坑指南：

• 离散极值陷阱：在仅用整数代入时，极易发现 $y(3)$ 大于 $y(2)$ 且大于 $y(4)$，从而产生主观错觉，误认为 $x=3$ 就是整个连续实数域上的最高峰而错选 (B)。必须明确离散数列的最值不等于连续函数的最值，连续函数的最值必须由导数驻点（即自然对数底数 $e$）精确判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的极限与导数综合定性题，取材于微积分中经典的同构比较模型。
2. 结论推广：

• 比较 $a^b$ 与 $b^a$ 的大小，等价于两边同时取自然对数比较 $b\ln a$ 与 $a\ln b$，进而等价于比较 $\frac{\ln a}{a}$ 与 $\frac{\ln b}{b}$ 的大小。
• 凭借本题导出的单调性（在 $x=e$ 处取得唯一极高点），可以直接各类变体证明题。例如由于 $e<\pi$，在递减区间内有 $\frac{\ln e}{e}>\frac{\ln \pi }{\pi }$，推导出经典数学常识： $e^{\pi }>{\pi }^e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-12 解-洛必达法则求极限
• 1977-福建文-01 解-综合小题九连
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角