2001-上海卷理-11 填-三角函数的图象与性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及函数奇偶性的定义与判定。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 关于 $x$ 的函数 $f(x)=\sin (x+\phi )$ 有以下命题：

(1) 对任意的 $\phi$ ， $f(x)$ 都是非奇非偶函数；

(2) 不存在 $\phi$ ，使 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数；

(3) 存在 $\phi$ ，使 $f(x)$ 是奇函数；

(4) 对任意的 $\phi$ ， $f(x)$ 都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是$\underline{}$.因为当 \varphi = $$\underline{\quad\quad\quad}时，该命题的结论不成立.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数奇偶性：依据诱导公式分析 $f(x)=\sin (x+\phi )$ 在特殊相位下的情形：

• 当 $\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 时， $f(x)=\sin (x+k\pi )=\pm \sin x$，此时为奇函数；
• 当 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ 时， $f(x)=\sin \left(x+k\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\pm \cos x$，此时为偶函数。

2. 逐一判定命题真假：

• 命题（1）断言“对任意 $\phi$ 都是非奇非偶函数”。由上述分析可知，当 $\phi =0$ 时函数为奇函数，当 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 时为偶函数，故（1）为假命题。
• 命题（2）断言“既奇又偶的 $\phi$ 不存在”。若函数既奇又偶则满足 $f(x)=0$，而 $\sin (x+\phi )$ 不可能恒为 0，故（2）为真命题。
• 命题（3）断言“存在 $\phi$ 使其为奇函数”。当 $\phi =0$ 时 $f(x)=\sin x$ 是奇函数，故（3）为真命题。
• 命题（4）断言“对任意 $\phi$ 都不是偶函数”。当 $\phi =\frac{\pi }{2}$ 时 $f(x)=\cos x$ 是偶函数，故（4）为假命题。

3. 填答：本题为双空填空题，可选择（1）或（4）作为假命题序号，并给出对应的反例 $\phi$ 的值。

✅【答案】

Success

(1)，0

✍【详细解析】

Abstract

分析正弦型函数的奇偶性 对于函数 $f(x)=\sin (x+\phi )$ ：

• 若 $f(x)$ 为奇函数，则满足 $f(-x)=-f(x)$，即 $\sin (-x+\phi )=-\sin (x+\phi )$。 展开得 $-\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =-\sin x\cos \phi -\cos x\sin \phi ⟹2\cos x\sin \phi =0$ 恒成立， 必有 $\sin \phi =0⟹\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

• 若 $f(x)$ 为偶函数，则满足 $f(-x)=f(x)$，即 $\sin (-x+\phi )=\sin (x+\phi )$。 展开得 $-\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi =\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi ⟹2\sin x\cos \phi =0$ 恒成立， 必有 $\cos \phi =0⟹\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。

确定假命题并构造反例

本题要求填入一个假命题的序号及其反例，可选择（1）或（4）：

• 选择方案 A：判定（1）为假命题。 命题（1）表述为“对任意 $\phi$ 均为非奇非偶函数”。 反例构造：令 $\phi =0$，此时 $f(x)=\sin x$。因为 $f(-x)=\sin (-x)=-\sin x=-f(x)$，所以此时函数为奇函数，结论“非奇非偶”不成立。 同理令 $\phi =\frac{\pi }{2}$，此时 $f(x)=\cos x$ 为偶函数，亦可作为反例。

• 选择方案 B：判定（4）为假命题。 命题（4）表述为“对任意 $\phi$ 都不是偶函数”。 反例构造：令 $\phi =\frac{\pi }{2}$，由诱导公式得 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$。因为 $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$，所以此时函数是偶函数，结论“都不是偶函数”不成立。

两种填法均正确，下面给出其中一种。

(1) ，0 （或写 (4)，$\frac{\pi }{2}$ ；答案不唯一，前后配对对应即可）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦函数平移后的对称性与奇偶性；全称命题的反例构造。
2. 核心方法：诱导公式代入法。
3. 避坑指南：

• 前后失配陷阱：本题是多解填空题，第一空填的序号必须与第二空填的 $\phi$ 值对应。例如若第一空填了 (1)，第二空写 $\frac{\pi }{2}$ 是对的（因为使其变成了偶函数，推翻了非奇非偶）；若第一空填了 (4)，第二空就不能写 0（因为 $\phi =0$ 时函数是奇函数，它本身就不是偶函数，无法推翻命题4的断言）。务必保证前后对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数图象与性质的经典概念辨析填空题，取材于高中数学教材“三角函数的周期性与奇偶性”中关于初相与奇偶性关系的思考题。
2. 结论推广：对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$：

• 它为奇函数的充要条件是 $\phi =k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）；
• 它为偶函数的充要条件是 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性