2001-上海卷理-07 填-数列极限的性质

本题导读

本题考查数列极限的性质，以及两个重要极限。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 计算： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+3}{n+1}\right)}^n=$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别极限类型：当 $n\to \infty$ 时，底数 $\frac{n+3}{n+1}\to 1$，指数 $n\to \infty$，此极限属于典型的 $1^{\infty }$ 型未定式。
2. 拆分底数分式：将分子 $n+3$ 改写为 $(n+1)+2$，从而将底数化为 $1+\frac{2}{n+1}$ 的标准形式。
3. 构造重要极限模型：利用重要极限公式 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$，需要让指数部分与底数中倒数的项严格对应。
4. 配凑指数并求极限：在指数位置配凑出 $\frac{n+1}{2}$，再利用幂的运算法则进行平衡调整，最终求得结果。

✅【答案】

Success

$e^2$

✍【详细解析】

Abstract

拆分底数分式形式 对欲求极限式的底数进行恒等变形，分子向分母配凑： $\frac{n+3}{n+1}=\frac{(n+1)+2}{n+1}=1+\frac{2}{n+1}$ 原极限式可变形为： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+3}{n+1}\right)}^n={\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)}^n$

构造标准极限形式并配凑指数 根据重要极限模型：当 $\Phi (n)\to \infty$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{\Phi (n)}\right)}^{\Phi (n)}=e$。 此处对应的倒数项为 $\frac{n+1}{2}$。为了在指数位置构造出该项，对原指数 $n$ 进行恒等变形： $n=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{2n}{n+1}$ 将此指数代入极限式中，利用幂的乘方性质进行分层： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)}^n={\lim }_{n\to \infty }{\left[{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)}^{\frac{n+1}{2}}\right]}^{\frac{2n}{n+1}}$

分层计算极限值 利用极限的复合运算法则，分别计算内层和外层指数的极限：

1. 内层极限：令 $t=\frac{n+1}{2}$，当 $n\to \infty$ 时， $t\to \infty$。 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)}^{\frac{n+1}{2}}={\lim }_{t\to \infty }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$
2. 外层指数极限：计算单项分式的最高次项系数比。 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n}{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{2}{1+\frac{1}{n}}=2$

将两部分极限值结合，最终求得： ${\lim }_{n\to \infty }{\left[{\left(1+\frac{2}{n+1}\right)}^{\frac{n+1}{2}}\right]}^{\frac{2n}{n+1}}=e^2$

$e^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：重要极限公式 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^n=e^k$ 的演变形式； $1^{\infty }$ 型未定式的级数复合。
2. 核心方法：指数配凑法（整体换元法）。
3. 避坑指南：

• 直觉认知失误陷阱：极易产生“底数趋近于1，1的任意次方都等于1”的直观误判，从而错填答案为 1。必须明确 $1^{\infty }$ 属于未定式，其最终结果取决于底数收敛于 1 的速率与指数发散速率之间的代数对抗。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于微积分初步中的数列极限计算题，属于上海卷（理）特有的考查板块。直接取材于高等数学“微积分学”中关于连续复利与自然常数 $e$ 极限定义应用的初等化基础题。
2. 结论推广： 本题可直接总结推广为通用的**“ $1^{\infty }$ 型标准分式极限不变量定理（广义 $e$ 方程）”**： 对于任意满足线性结构的分式序列极限，恒满足如下解析闭式解： ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n+a}{n+b}\right)}^{cn+d}=e^{c(a-b)}$ 利用该推广模型直接验证本题参数 $a=3,b=1,c=1,d=0$： $\text{Result}=e^{1\times (3-1)}=e^2$ 这一极限模型在概率论的泊松分布（Poisson Distribution）逼近二项分布的数学证明、以及金融精算学中连续复利（Continuous Compounding）的终值利息精算算法中，是提供解析确界的核心通用公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-广东理-30 填-数列的极限
• 1988-广东文-30 填-数列的极限