2001-上海卷理-06 填-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 圆心在直线 $y=x$ 上且与 $x$ 轴相切于点 $(1,0)$ 的圆的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用垂直弦确定圆心横坐标：这条垂直线的方程为 $x=1$，从而直接确定圆心的横坐标 $a=1$。
2. 利用直线方程确定圆心纵坐标：已知圆心在直线 $y=x$ 上，将横坐标 $a=1$ 代入该直线方程，即可求得圆心的纵坐标 $b$。
3. 确定圆的半径并输出方程：圆心到 $x$ 轴的距离即为圆的半径 $r$，由圆心纵坐标直接得出 $r$。最后将圆心坐标 $(a,b)$ 与半径 $r$ 代入标准方程模型 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 中。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

由切点性质求圆心的横坐标 设所求圆的标准方程为： $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(\text{其中圆心为 }(a,b),\text{半径为 }r)$ 因为圆与 $x$ 轴相切于定点 $(1,0)$，根据圆的几何性质，圆心与切点的连线必定垂直于 $x$ 轴。 由此可知，圆心的横坐标与切点的横坐标完全相同，即： $a=1$

由圆心所在直线求纵坐标及半径 已知圆心 $(a,b)$ 在直线 $y=x$ 上。 将 $a=1$ 代入直线方程中，直接得圆心的纵坐标为： $b=1$ 由此锁定圆心坐标为 $(1,1)$。

因为圆与 $x$ 轴相切，所以圆心 $(1,1)$ 到 $x$ 轴的距离即为圆的半径 $r$。 圆心到 $x$ 轴的距离等于其纵坐标的绝对值，即： $r=|b|=1⟹r^2=1$

写出圆的方程 将圆心坐标 $a=1,b=1$ 及半径平方 $r^2=1$ 代入圆的标准方程模型中，得： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线几何性质（圆心、切点连线与切线正交）；圆的标准方程形式表达。
2. 核心方法：数形结合法（几何分析法）。
3. 避坑指南：

• 盲目联立消元陷阱：部分学生习惯性地设圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，然后通过与 $x$ 轴（ $y=0$）联立令 $\Delta =0$，再代入点 $(1,0)$ 及圆心线建立三元方程组。这种纯代数方法计算极其繁琐且极易出错。处理圆锥曲线问题，优先利用“半径垂直于切线”等平面几何不变量，可实现零计算量直接破题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于解析几何中圆的方程板块的最典型基础填空题，取材于高中解析几何教材“圆的方程”章节关于圆与坐标轴相切性质应用的课后标准强化题。
2. 结论推广： 本题可直接推广为通用的**“轴切线一维约束圆方程不变量模型”**： 对于任意圆心在直线 $y=kx$ 上，且与 $x$ 轴相切于点 $(x_0,0)$ 的圆，其圆心坐标恒为 $(x_0,k{x}_0)$，半径恒为 $r=|k{x}_0|$。其标准方程通用解析式模型满足： $(x-x_0{)}^2+(y-k{x}_0{)}^2=(k{x}_0{)}^2$ 代入本题参数 $x_0=1,k=1$，直接输出： $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1^2=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1979-全国文-07 解-圆的内接矩形与切线
• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切