2001-上海卷理-02 填-复数的四则运算

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 若复数 $z$ 满足方程 $\bar{z}\text{i}=\text{i}-1$ （ $\text{i}$ 是虚数单位），则 $z=$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离共轭复数 $\bar{z}$：方程两边同时除以 $\text{i}$，将 $\bar{z}$ 孤立在等号一边。
2. 复数分式化简：利用分母实数化或分配律，将 $\frac{\text{i}-1}{\text{i}}$ 化简为标准形式 $a+b\text{i}$。
3. 求解原复数 $z$：根据共轭复数的定义（实部不变，虚部变为相反数），由 $\bar{z}$ 还原出 $z$。

✅【答案】

Success

$1-\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

反解共轭复数 $\bar{z}$ 已知复数方程为： $\bar{z}\text{i}=\text{i}-1$ 方程两边同时除以 $\text{i}$： $\bar{z}=\frac{\text{i}-1}{\text{i}}$

分式化简 将分子拆开分别除以分母： $\bar{z}=\frac{\text{i}}{\text{i}}-\frac{1}{\text{i}}=1-\frac{1}{\text{i}}$ 因为 $\frac{1}{\text{i}}=\frac{\text{i}}{{\text{i}}^2}=\frac{\text{i}}{-1}=-\text{i}$，代入上式得： $\bar{z}=1-(-\text{i})=1+\text{i}$

利用共轭复数定义求 $z$ 已知 $\bar{z}=1+\text{i}$。 根据共轭复数的定义，原复数 $z$ 与 $\bar{z}$ 的实部相同，虚部互为相反数： $z=\overline{1+\text{i}}=1-\text{i}$

$1-\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位性质 ${\text{i}}^2=-1$ ；复数除法分母实数化法则；共轭复数符号映射。
2. 核心方法：代数分离法。
3. 避坑指南：

• 共轭还原遗漏陷阱：极易在算出 $\bar{z}=1+\text{i}$ 后，由于思维定势直接将其作为最终答案填入。务必看清题目问的是原复数 $z$ 还是共轭复数 $\bar{z}$。
• 符号运算错误陷阱：在计算 $-\frac{1}{\text{i}}$ 时容易漏掉负号而错算为 $1-\text{i}$，导致最终还原的 $z$ 符号错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复数板块的基础概念填空题，取材于高中数学教材“复数”章节关于复数四则运算与共轭定义的课后基本练习题。
2. 结论推广： 本题可推广至通用的复数线性方程模型 $A\bar{z}=B$。两边取共轭可得 $\bar{A}z=\bar{B}⟹z=\frac{\bar{B}}{\bar{A}}$。 代入本题参数 $A=\text{i},B=\text{i}-1$： $\bar{A}=-\text{i},\bar{B}=-\text{i}-1$ $z=\frac{-\text{i}-1}{-\text{i}}=\frac{\text{i}+1}{\text{i}}=\frac{\text{i}}{\text{i}}+\frac{1}{\text{i}}=1-\text{i}$ 利用共轭运算的分配律（积的共轭等于共轭的积）直接进行整体转换，可有效规避分步计算带来的符号交叉失误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1987-广东文-26 填-复数的共轭
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义