2001-上海卷理-01 填-分段函数的概念

本题导读

本题考查分段函数的概念，以及指数方程与对数方程的解法。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x},& x\in (-\infty ,1]\\ {\log }_{81}x,& x\in (1,+\infty )\end{array}$，则满足 $f(x)=\frac{1}{4}$ 的 $x$ 值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一分支讨论（ $x\le 1$）：代入上半段指数解析式 $2^{-x}=\frac{1}{4}$，求出 $x$ 值，并检验是否满足对应区间 $x\in (-\infty ,1]$。
2. 第二分支讨论（ $x>1$）：代入下半段对数解析式 ${\log }_{81}x=\frac{1}{4}$，求出 $x$ 值，并检验是否满足对应区间 $x\in (1,+\infty )$。
3. 综合输出：取两段满足区间的解的并集。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

讨论 $x\in (-\infty ,1]$ 分支 当 $x\le 1$ 时，由题意建立方程： $2^{-x}=\frac{1}{4}$ 将等式右端化为以 2 为底的幂形式： $2^{-x}=2^{-2}$ 根据指数函数的单调性，指数相等： $-x=-2⟹x=2$ 检验区间：因为 $2\notin (-\infty ,1]$，故此解不符合该分支的定义域限制，舍去。

讨论 $x\in (1,+\infty )$ 分支 当 $x>1$ 时，由题意建立方程： ${\log }_{81}x=\frac{1}{4}$ 根据对数与指数的互化，将方程转化为指数式： $x=81^{\frac{1}{4}}$ 将底数分解 $81=3^4$ 并代入化简： $x=(3^4{)}^{\frac{1}{4}}=3$ 检验区间：因为 $3\in (1,+\infty )$，满足该分支的定义域限制，此解有效。

综合上述两段分类讨论，满足方程的 $x$ 值仅有 3．

3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的定义；指数方程与对数方程的解法。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 区间检验漏失陷阱：本题最易出错的地方是算出 $x=2$ 和 $x=3$ 后不检验区间，直接把两个数都写进答案。解分段函数方程，求出根后必须代回该段对应的自变量区间检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于分段方程填空题，取材于高中数学教材“函数的基本性质”中关于分段函数定义理解的课后练习。
2. 结论推广：对于分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\in A\\ h(x),& x\in B\end{array}$，方程 $f(x)=y_0$ 的解集为 $X=\left(\{x\mid g(x)=y_0\}\cap A\right)\cup \left(\{x\mid h(x)=y_0\}\cap B\right)$ 即分别在各段上求解并检验区间，再取并集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1958-沪闽-02 解-对数指数混合方程组
• 1958-黑吉辽-04 解-指数对数混合方程
• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角