2000-新课标理-13 填-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量分布列的求解。核心意图在于测试学生将实际生产中的抽样质检问题抽象为经典的独立重复试验（二项分布）模型，并准确计算各随机变量取值对应概率的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 $5\%$，现从一批产品中任意地连续取出 $2$ 件，其中次品 $\xi$ 的概率分布是：

$\xi$	0	1	2
$p$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别概率模型：由于电子元件生产批量很大，连续任意取出 $2$ 件的过程可以近似看作 $2$次独立重复试验。每次抽样抽到次品的概率恒为 $P=5\%=0.05$，抽到正品的概率为 $1-P=0.95$。
2. 确定随机变量分布：随机变量 $\xi$ 表示抽到的次品数，其所有可能取值为 $0,1,2$，服从二项分布，即 $\xi \sim B(2,0.05)$。
3. 计算各项对应概率：利用二项分布概率公式 $P(\xi =k)=C_2^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{2-k}$ 分别算出 $\xi =0,1,2$ 时的数值，填入表格中。

✅【答案】

Success

0.9025, 0.095, 0.0025

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，由于产品基数巨大，连续任意抽取 $2$ 件的行为属于独立重复试验。 设每次抽到次品的概率 $p_0=0.05$，则抽到正品的概率 $q=1-0.05=0.95$。 随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B(2,0.05)$。

第一步：计算 $\xi =0$ 的概率 $\begin{array}{rl}P(\xi =0)& =C_2^0\times (0.05{)}^0\times (0.95{)}^2\\ & =1\times 1\times 0.9025\\ & =0.9025\end{array}$

第二步：计算 $\xi =1$ 的概率 $\begin{array}{rl}P(\xi =1)& =C_2^1\times (0.05{)}^1\times (0.95{)}^1\\ & =2\times 0.05\times 0.95\\ & =0.095\end{array}$

第三步：计算 $\xi =2$ 的概率 $\begin{array}{rl}P(\xi =2)& =C_2^2\times (0.05{)}^2\times (0.95{)}^0\\ & =1\times 0.0025\times 1\\ & =0.0025\end{array}$

验证概率和： $0.9025+0.095+0.0025=1.0000$，结果符合概率完备性。

将计算结果填入概率分布列表格中：

$\xi$	0	1	2
$p$	0.9025	0.095	0.0025

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；离散型分布列的完备性。
2. 核心方法：独立重复试验（伯努利试验）建模法。
3. 避坑指南：

• 不放回抽样超几何分布误判陷阱：少数学生可能会纠结于“不放回抽取”应该用超几何分布。需注意，当题目未给出产品总数，且强调“某厂生产（属于大批量工业流水线）”时，总基数视为无穷大，抽样对整体次品率的影响忽略不计，一律按独立重复试验二项分布处理。
• 小数乘法位错陷阱：在计算 $(0.05{)}^2$ 时极易粗心写成 $0.025$。必须明确五的平方是二十五，两位小数的平方是四位小数，故为 $0.0025$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于概率与统计板块最标准的概率分布列大题，直接取材于高中数学课本“随机变量及其分布”章节中关于“二项分布与独立重复试验”的课后基本应用练习题。
2. 结论推广：对于任意已知单次事件发生概率为 $p$ 的 $n$ 次独立重复试验，其对应成功次数 $\xi$ 的数学期望（均值） $E(\xi )$ 和方差 $D(\xi )$ 存在标准的代数简化不变量模型：

• $E(\xi )=np$
• $D(\xi )=np(1-p)$ 利用二项分布的期望公式代入本题，可以一步算出该两件产品的平均次品期望为 $2\times 0.05=0.1$ 件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2002-新课标文-20 解-独立重复概率
• 2006-湖北文-12 填-二项分布至少概率
• 2006-湖南文-17 解-煤矿安检独立重复概率