2000-新课标理-07 单-基本不等式

本题导读

本题考查对数式与均值不等式的综合大小比较。核心意图在于测试学生熟练运用算术平均数与几何平均数定理（$AM\ge GM$），并结合对数函数的运算性质和单调性，对多个复杂的代数式进行严谨、有序的逻辑大小判定的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 若 $a>b>1$， $P=\sqrt{\lg a\cdot \lg b}$， $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$， $R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$，则()

A. $R<P<Q$　　B. $P<Q<R$　　C. $Q<P<R$　　D. $P<R<Q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定代数项的符号性质：由 $a>b>1$ 可知， $\lg a>\lg b>0$，因此涉及的对数项均为正数。
2. 比较 $P$ 与 $Q$：将 $\lg a$ 与 $\lg b$ 视为两个正实数，直接应用基本不等式（几何平均数小于等于算术平均数）判定 $P$ 与 $Q$ 的大小。
3. 比较 $Q$ 与 $R$：利用对数的性质将 $Q$ 变形为 $\lg \sqrt{ab}$，通过对数函数的单调性，将 $Q$ 与 $R$ 的比较转化为对数内部真数 $\sqrt{ab}$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 的大小比较。
4. 特殊值法辅助验证：任取符合题意的特殊值代入计算，作为客观题快速判定或验证的补充手段。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：严谨代数逻辑法（通法）

第一步：比较 $P$ 与 $Q$ 的大小 因为 $a>b>1$，由对数函数的单调性得： $\lg a>\lg b>\lg 1=0$ 令 $x=\lg a>0$， $y=\lg b>0$。且由于 $a\ne b$，则 $x\ne y$。 根据基本不等式（算术-几何均值不等式， $AM>GM$ 条件在不相等时严格成立）： $\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}$ 代入原式即得： $\sqrt{\lg a\cdot \lg b}<\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)⟹P<Q$ 由此排除 A 和 C。

第二步：比较 $Q$ 与 $R$ 的大小 利用对数的运算性质，将 $Q$ 进行恒等变形： $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)=\frac{1}{2}\lg (ab)=\lg (ab{)}^{\frac{1}{2}}=\lg \sqrt{ab}$ 已知 $R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$。

因为 $a>b>1$，由基本不等式可得真数部分的绝对大小关系： $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$ 由于底数为 10 的常用对数函数 $y=\lg t$ 在 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递增函数，保持不等号方向不变： $\lg \sqrt{ab}<\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)⟹Q<R$

第三步：综合排序 结合前两步得到的不等关系： $P<Q\text{ 且 }Q<R⟹P<Q<R$

比对选项，该结果与 B 选项完全一致。

方法二：特殊值法 任取满足 $a>b>1$ 的特殊便于对数计算的数值。 令 $a=10000=10^4$， $b=100=10^2$。 计算各值：

• $\lg a=\lg 10^4=4$
• $\lg b=\lg 10^2=2$

代入求出 $P,Q,R$：

1. $P=\sqrt{4\times 2}=\sqrt{8}\approx 2.83$
2. $Q=\frac{1}{2}(4+2)=3$
3. $R=\lg \left(\frac{10000+100}{2}\right)=\lg (5050)$ 因为 $\lg 1000=3$， $\lg 10000=4$，且 $5050>1000$，显然有 $\lg 5050>3$。

由此可以直观观察出： $2.83<3<\lg (5050)⟹P<Q<R$

答案： B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均值不等式通式 $\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}(x\ne y)$；对数函数的单调增函数性质；对数幂次前置性质。
2. 核心方法：“真数比较法”。通过将对数系数统一划入真数内部，将复合函数的大小比较降维转换为内部初等式的大小比较。
3. 避坑指南：在比较 $Q$ 与 $R$ 时，由于形式极其相似，容易在不经意间将 $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$ 与 $R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$ 的结构记混，误认为两式相等或方向反转。必须牢记：对数函数的图形是上凸的，根据 Jensen 不等式，函数平均值恒小于平均值的函数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查对数函数在不等式领域的应用，属于经典的均值链排序题。直接取材于高中代数教材中“基本不等式”与“对数函数的图象与性质”交汇板块的章末能力拔高检测题。
2. 结论推广： 在高等数学中，本题的 $Q<R$ 对应于严格上凸函数（Convex Function）的核心定义特征。 由于对数函数 $f(x)=\lg x$ 的二阶导数 $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2\ln 10}<0$，其图象为严格上凸曲线（常简称为凹函数）。根据 琴生不等式（Jensen’s Inequality），对于任意上凸函数，恒满足： $\frac{f(a)+f(b)}{2}\le f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 这一高等数学背景深刻支撑了高考中所有关于指数、对数、幂函数叠加复合不等式的大小比较题型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断