2000-新课标理-03 单-长方体的表面积与边长关系

本题导读

本题考查长方体空间几何量的计算。核心意图在于测试学生建立长方体三条棱长与相邻三个面面积之间的方程组关系，并熟练运用代数变形求解体对角线长度的能力。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(理)） 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，这个长方体对角线的长是()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $3\sqrt{2}$　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入未知数建立方程组：设长方体共一顶点的三条棱长分别为 $a,b,c$，根据矩形面积公式列出关于 $ab,bc,ca$ 的方程组。
2. 求解三棱长的平方值：通过方程组两两相乘、相除，或者整体相乘求出各棱长的具体数值或其平方值。
3. 利用对角线公式求解：根据长方体体对角线公式 $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，代入计算得出最终结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据题意列出方程组 设该长方体共一个顶点的三条棱长分别为 $a,b,c$。 由题意，相邻三个面的面积分别为 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$，可得方程组： $\{\begin{array}{ll}ab=\sqrt{2}& \text{(1)}\\ bc=\sqrt{3}& \text{(2)}\\ ca=\sqrt{6}& \text{(3)}\end{array}$

第二步：求出各棱长的平方值 将三个方程全部相乘： $(ab)\cdot (bc)\cdot (ca)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}$ $(abc{)}^2=\sqrt{36}=6⟹abc=\sqrt{6}\text{(4)}$

利用 ④ 式分别除以 ①、②、③ 式：

• 将 ④ 除以 ② 得：$a=\frac{abc}{bc}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}⟹a^2=2$

• 将 ④ 除以 ③ 得：$b=\frac{abc}{ca}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=1⟹b^2=1$

• 将 ④ 除以 ① 得：$c=\frac{abc}{ab}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}⟹c^2=3$

第三步：计算对角线长度 根据长方体体对角线的长 $l$ 公式： $l=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 代入已求出的平方值： $l=\sqrt{2+1+3}=\sqrt{6}$

答案： D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体基本度量要素之间的代数转换；体对角线通式。
2. 核心方法：整体乘除消元法。
3. 避坑指南：在求得 $(abc{)}^2=6$ 后，不要误将 6 直接当作 $a^2+b^2+c^2$。必须分清三个棱长平方的和（对角线平方）与平方的积（体积平方）之间的代数差异。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于空间几何体度量计算的经典试题，取材于高中立体几何教材中“长方体与正方体的性质”章节的课后巩固拓展题。
2. 结论推广：对于任意已知共顶点三个面面积分别为 $S_1,S_2,S_3$ 的长方体，其对应的体积 $V$ 和体对角线长 $l$ 存在固定的代数模型：

• 体积：$V=\sqrt{S_1{S}_2{S}_3}$
• 体对角线长：$l=\sqrt{\frac{S_1{S}_2}{S_3}+\frac{S_2{S}_3}{S_1}+\frac{S_3{S}_1}{S_2}}$ 通过这一一般化公式，能更快速地解决所有含参或复杂根式的同类长方体题型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1953-全国-08 解-长方体对角线
• 1958-江苏-04 解-长方体三度和与全面积
• 1960-全国-02 解-圆柱内接长方体