2000-新课标卷文-18甲 解-直三棱柱的向量夹角与垂直

本题导读

本题考查直三棱柱中的距离与向量夹角。核心在于建立空间直角坐标系，用向量求 $BN$ 的长与两向量夹角的余弦，并证明线线垂直。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，底面 $△ABC$ 中，$CA=CB=1$，$\angle BCA=90^{\circ }$，棱 $A{A}_1=2$，$M$、$N$ 分别是 $A_1{B}_1$、$A_{1}A$ 的中点．

(1) 求 $BN$ 的长；

(2) 求 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩$ 的值；

(3) 求证 $A_{1}B\perp C_{1}M$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $C$ 为原点建系。
2. (1) 求 $N$ 坐标算 $BN$。
3. (2) 用向量夹角公式。
4. (3) 证内积为零。

✅【答案】

Success

(1) $BN=\sqrt{3}$；(2) $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{\sqrt{2}}{6}$；(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

以 $C$ 为原点，分别以 $CA$、$CB$、$C{C}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $C(0,0,0)$，$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$A_1(1,0,2)$，$B_1(0,1,2)$，$C_1(0,0,2)$． (1) $N$ 是 $A_{1}A$ 的中点，故 $N\left(1,0,1\right)$，于是 $BN=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{3}$． (2) $\overrightarrow{B{A}_1}=(1,-1,2)$，$\overrightarrow{C{B}_1}=(0,1,2)$，则 $\overrightarrow{B{A}_1}\cdot \overrightarrow{C{B}_1}=0-1+4=3$，$|\overrightarrow{B{A}_1}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$，$|\overrightarrow{C{B}_1}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$．故 $\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$． (3) $M$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，$M\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},2\right)$，$\overrightarrow{C_{1}M}=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(-1,1,-2)$．故 $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$，所以 $A_{1}B\perp C_{1}M$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱的向量夹角与垂直

核心方法：建系 $C(0,0,0),B(1,0,0),A(0,1,0),C_1(0,0,2)$，$N(1,0,1)$，$BN=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$；$\cos ⟨\overrightarrow{B{A}_1},\overrightarrow{C{B}_1}⟩=\frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；$\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{C_{1}M}=0$ 故 $A_{1}B\perp C_{1}M$

避坑指南：建系求模与向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材空间向量

结论推广：一般地，向量夹角 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

方法推广：建系求模与向量夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-20甲 解-正四棱锥向量夹角
• 2003-北京文-17 解-正三棱柱证明与距离
• 2002-新课标文-08 单-正六棱柱异面角

专题合集 (Series)