2000-新课标卷文-15 填-递推数列的通项公式

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及由递推式求通项公式。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，且 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0$（$n=1,2,3,\dots$），则它的通项公式是 $a_n=$　　　．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将递推式因式分解。
2. 利用正项数列排除，得 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n$。
3. 累乘得 $a_n=\frac{1}{n}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{n}$

✍【详细解析】

Abstract

递推式 $(n+1)a_{n+1}^2-n{a}_n^2+a_{n+1}{a}_n=0$ 可因式分解为 $[(n+1)a_{n+1}-n{a}_n](a_{n+1}+a_n)=0$．因为 $\{a_n\}$ 是正项数列，$a_{n+1}+a_n>0$，故 $(n+1)a_{n+1}-n{a}_n=0$，即 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n$．这说明数列 $\{n{a}_n\}$ 是常数列，而 $1\cdot a_1=1$，故 $n{a}_n=1$ 对一切正整数 $n$ 成立，所以 $a_n=\frac{1}{n}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列的通项公式

核心方法：递推式因式分解 $[(n+1)a_{n+1}-n{a}_n](a_{n+1}+a_n)=0$，正项故 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n$，$n{a}_n$ 为常数 $1$，故 $a_n=\frac{1}{n}$

避坑指南：因式分解得 $(n+1)a_{n+1}=n{a}_n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材数列的递推关系

结论推广：一般地，递推式因式分解常得 $n{a}_n$ 为常数

方法推广：因式分解得等比积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-11 填-平方递推数列通项
• 2005-湖南卷文-05 单-递推数列的周期性

专题合集 (Series)